[Organisation et objectifs] [Premières visites]
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[Organisation et objectifs] [Premières visites]
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Extrait de l'article de Dominique Tournès sur ses objectifs :"Depuis le début de ce dossier, l'un dans l'autre, j'ai essayé de faire sentir au lecteur que les fonctions élémentaires (puissances, trigonométriques, logarithmiques et exponentielles) pouvaient être acceptées en géométrie en tant que fonctions constructibles, à condition d'adjoindre le mouvement tractionnel aux procédés classiques de construction."
En s'appuyant sur des simulations du mouvement tractionnel réalisées avec Cabri-géomètre, ce dossier montre tout d'abord comment réaliser la construction des courbes usuelles, puis, sur l'exemple de celle de Riccati, l'intégration des équations différentielles non intégrables par quadrature.
En faisant tourner la tractrice autour de son asymptote, on engendre une surface de révolution appelée "pseudosphère". En 1868, Beltrami a découvert que la géométrie locale de la pseudosphère était identique à la géométrie hyperbolique de Lobachevski.
Dominique Tournès m'a alors invité à "faire une page" sur la pseudosphère. Il s'est lui-même passioné par le sujet, et, de mails en mails, au fil des semaines, grâce à ses capacités d'analyse, de compréhension - mais aussi son savoir faire sur la géométrie des surfaces - il m'a permis de réaliser d'extraordinaires figures sur la pseudosphère: j'ai de la chance d'avoir un collègue comme lui, et du coup, par abraCAdaBRI, tout le monde peut en profiter : il semble bien en effet que les figures proposées dans cette livraison soient les premières figures de géométrie plane construites sur la pseudosphère disponibles sur l'Internet ;-)
Bonne ballade tractionnelle et pseudosphèriques
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Une livraison d'une trentaine de pages et d'une cinquantaine de figuresNous vous proposons de découvrir l'axiomatique de Bachmann dans sa version purement algébrique, avec de nombreuses illustrations dans les modèles de géométries hyperbolique et elliptique. Quelques pages sont réalisées sans illustration, pour une éventuelle impression plus compacte, mais lire les démonstrations de certains théorème avec une illustration CabriJava est un non-luxe de ce début de milénaire bien sympathique.
Depuis Félix Klein, une géométrie, dans sa déclinaison algébrique, est la donnée d'un ensemble E (de points) et d'un groupe G opérant sur cet ensemble, définissant par là même les isométries, et donc la géométrie. Une approche axiomatique classique définit, à partir d'un ensemble de points et d'un ensemble de droites donnés à priori, une relation d'incidence et (pour les plans métriques) une relation d'orthogonalité.
Bachmann propose de s'affranchir ... de l'ensemble des points ... et de l'ensemble des droites, en identifiant celles-ci aux générateurs du groupe qui définira sa géométrie. Pour cela il faut quelques conditions, redéfinir ce qu'est iun point, ce qu'est l'incidence. Si la démrche est conceptuellement claire et lumineuse, la voir avec des illustrations Cabri lui donne en plus une esthétique graphique certaine.
Cette axiomatique ramene l'étude de la géométrie - de toutes les géométries - à celle d'un groupe particulier ... muni de seulement 5 axiomes supplémentaires : un d'existence, deux d'incidence, et deux d'orthogonalité. Elle est actuellement considérée par les spécialiste comme l'aboutissement ultime du programme d'Erlangen.
Aussi, même si ce n'est pas d'un intérêt didactique immédiat, pour l'élégance, pour la beauté, pour la culture personnelle, bonne exploration dans l'axiomatique de Bachmann ...
Tout d'abord 12 nouvelles dissections de Alain Rousseau sur les polygones réguliers, étoilés ou non.Cette fois, Alain Rousseau aborde systèmatiquement la multiplication de polygones réguliers, du genre un dodécagone découpé en 6 dodécagones, un hetagone en 7 heptagones ... Vous n'avez pas le temps de tout voir, alors tiens, celle-là : une jolie salade colorée. Encore une petite, aller celle-ci sur les heptagones dont les pièces glissent les unes sur les autres. Mais ce serait dommage de ne pas aller voir les autres ...
Rappel : toutes ces figures sont téléchargeables en double-cliquant sur l'applet et en cliquant sur l'outil de droite de la barre d'outil de CabriJava. Si vous vous servez, pensez aussi à remercier l'auteur ... c'est un boulot remarquable qu'il nous offre là.
Ensuite un article de Géry Huvent sur la relation entre cercle et hyperboles équilatère.
Cet article est largement illustré comme à l'accoutumé dans abraCAdaBRI mais aussi avec CabriJava. Dans cette partie, on utilise abondament la nouveauté de CabriJava (depuis juin) d'intégrer les commentaires de Cabri sur l'appartenance, le parallèlisme etc.
Cet article est décomposé en 3 pages dans abraCAdaBRI (lourdes, environ 80 K chacune) et en 5 pages dans abraJava (pour éviter la lourdeur du chargement effectif des pages). Comme le metteur en page, vous serez sans doute nombreux à découvrir les propriétés des triangles autopolaires et des coniques harmonieusement inscrites ou circonscrites ... et assez étourdis devant la subtilités des arguments ;-)
Enfin, abraCAdaBRI est heureux de vous présenter ses premières figures elliptiques ...
... et quelques nouvelles figures hyperboliques assez sympa. Pour les pressés, voir par exemple :
- La symétrie orthogonale elliptique est une rotation
- Un triangle a 4 cercles circonscrits
- La distance entre deux points A et B n'est pas la longueur du segment [AB]
- Manipulation directe sur un polygone régulier elliptique à 17 côtés en animation.
- Tangente à un cercle issue d'un point et polaire du centre du cercleMais le reste mérite qu'on y traine vraiment, il y a même quelques belles réalisations hyperboliques comme celle-ci sur les symétries ou celle-là sur les faisceaux ... mais aussi quelques autres ... dont celles de cette page introductive à l'axiomatique de Bachmann.
Certaines de ces figures sont parfois assez riches, comme celle sur le médiateur de deux points : pour limiter le chargement, par l'artifice du curseur, j'ai choisi d'incorporer plusieurs développements (jusqu'à 5) dans une même figure.
Sûr que ce dossier manque d'informations techniques ... j'y passe les mois de juillet et d'aout : cette cinquantaine de figures, c'est juste pour mettre l'eau à la bouche et donner de quoi réver ;-)
Vous n'avez que 10 mn pour regarder ces nouveautés ?
a - Dans Aspect Affine choisir dans la rubrique "Pascal et Morley" la figure 2 ou 3 (la 1 c'est pour comprendre, mais ce sera pour une autre fois ;-)
b - Toujours dans Aspect affine, voir Carnot et Steiner : l'ellipse de Steiner comme lieu des points de concours de céviennes pour avoir une parabole tritangente. Belle animation.
c - Dans Aspect Euclidien commencer peut-être par Ellipses de Steiner et aire : une animation sur grille pour voir qu'une ellipse a toujours une aire plus ... mais vous verrez bien.
d - Toujours dans Aspect euclidien, une page délirante est celle sur les constructions élémentaires sur les paraboles. Délirante car il y a 7 figures dont 4 sont animées et surtout parce que CabriJava autorise le déplacement continu d'un point pendant une animation. Voir cette page pour le fun mais aussi les opportunités que permet cette possibilité de CabriJava.Vous avez envie de voir d'autres pages plutôt fun ?
e - Tout le petit dossier hyperbolique est assez sympa. Si vous ne cliquez qu'à un endroit, prendre par exemple une nouvelle définition des coniques encore que exercice sur les horocycles dans le modèle de Klein-Beltrami est joli aussi.
f - Dans le genre exotique - mais très sérieux - on peut regarder les capacités de Cabri à résoudre une équation d'arithmétique : dans cette page, en déplaçant une droite, vous crééz un repère de moins d'un 1/10 de pixel d'unité pour voir apparaître des solutions éloignées (x > 1000). Cabri et CabriJava sont vraiment très précis !!!Vous avez un peu plus de temps ?
g - Dans la rubrique Utilisation en géométrie vectorielle, vous pouvez chosir entre les directions propres de l'adjoint, ou la conservation d'une paire de directions orthogonales par une transformation affine.
h - Retourner flaner à l'aspect euclidien (70 figures) pour observer la partie analyse de la figure d'accueil du dossier : conique connaissant un foyer et 3 points.
i - Retourner aussi à l'aspect affine (32 figures) et explorer la transformation d'un cercle en conique par homologie harmonique.
j - Ou encore observer un groupe sur une conique.Aspiration : le nouveau dossier ConikCJ d'abraJava contient 198 fichiers pour un volume de 500 Ko seulement (il n'y a pas de gif et les figures Cabri sont toutes zippées).
Mise en place d'une page de liens d'abraJava
Spécial utilisateurs Mac : Netscape n'a pas suivi l'évolution du Java, il faut utiliser un PlugIn pour MRJ, disponible sur le site, pas sûr qu'il prenne en compte les dernières spécificités de Java. Internet Explorer 4.5 (pas encore testé le 5 tout chaud sur Mac) recharge CabriJava à chaque page : inutilisable, sauf en intranet où c'est acceptable. Pour ma part (abraJava est fait sur Mac), je ne vois que 3 solutions :
La plus simple : utiliser le navigateur iCab (de www.icab.de - 2 Mo) qui fonctionne bien et ne recharge pas CabriJava.
Plus lourd : passer par Virtual PC ;-( Bon, ça marche très bien.
Encore plus lourd : visiter les pages CabriJava sur son lieu de travail où il y a forcément plus de PC que d'iMac.
Dont 18 pages sur les systèmes linéaires à coefficients constant d'ordre 1 en dimension 2. Avec en particulier une approche non technique, utilisant la trace dans Cabri pour construire les orbites. Vous n'aimez pas trop les EquaDiff ? Aller faire un tour à cette page, charger la figure associée, expérimentez avec Cabri : les équadiff avec Cabri, c'est un autre monde.
Ou mieux, faites un tour du côté de CabriJava et expérimenter vous-même sur les systèmes, soit sur des équations ordinaires.
Les autres pages traitent des approximations d'ordre 1 et d'ordre 2 sur des exemples classiques, de l'équation de Riccati ou d'une équation d'Euler. Et puis, un peu de fun ...
Note 1 : pour ceux qui "aspirent", ce dossier comprend 182 nouveaux fichiers pour un volume de 2,3 Mo.
Note 2 : un lien "Retour Analyse" est présent sur chaque page. Pour le moment, il renvoit à ... une future extension. Eviter de l'utiliser ...
Mise en ligne de cinq nouvelles applets sur les pavages hyperboliques, mais cette fois-ci dans le demi-plan de Poincaré (et non plus dans le disque comme en décembre) : pavages de carrés, de pentagones, et d'hexagones. Ces pavages sont rarement (peut-être même pas) illustrés sur le Net. En voici quelques uns, en animation, et manipulables dans le navigateur. On a beau le savoir, c'est bien de s'en souvenir régulièrement : CabriJava est quelque chose de réellement extraordinaire.
Mise en ligne d'un dossier dû à l'enthousiasme provoqué par la disponibilité des lieux dans CabriJava comme annoncé il y a quelques jours : Bienvenue aux lieux
Vous y trouverez, aprés une jolie figure d'introduction (sur un exercice de seconde), trois pages sur l'optimisation en lycée, une sur les suites récurentes, une page plus fun, six sur les équations différentelles., une autre de morphing barycentrique, et une dernière en attendant les coniques.
Bon "page" est un bien grand mot. Il s'agit seulement d'une figure commentées. Dans la "philosophie" d'abraJava, les questions de construction ne sont pas abordées, elles sont laissées à abraCAdaBRI.
Bonne ballade dans cette première livraison de lieux dans CabriJava, et pour les webmestres, à votre tour ...
Ouverture d'un dossier Algèbre avec Cabri comportant des pages sur les groupes et une page d'aritmétique ! Accés direct à une structure de groupe sur les coniques, un exemple de groupe sur une cubique, et un exemple de résolution graphique d'une équation de Pell-Fermat. Voir aussi une page de compléments sur la différence entre les aspects affines et projectifs sur ces structures de groupe.
Le dossier Géométrie vectorielle a été complété de trois pages sur la construction de la forme polaire associée à une forme quadratique. Cela permet d'explorer avec Cabri l'orthogonal d'un vecteur, et par exemple de construire en dimension 3, l'orthogonal d'un plan de Artin.
Géry Huvent, enseignant à Lille, nous propose un article sur une caractérisation angulaire de l'hyperbole équilatère, ce qui permet d'avoir une preuve géométrique du fait que le centre d'une hyperbole équilatère circonscrit à un triangle est sur le cercle d'Euler de ce triangle. Géry Huvent propose aussi quelques nouvelles remarques - ou preuves - autour du centre d'Euler d'un quadrilatère dans le cas où celui-ci est inscriptible, en particulier le lien avec la propriété dite "des mi-hauteurs".
Réécriture du dossier des dissections de Alain Rousseau et ajout de 8 nouvelles dissections. Il y a désormais une page décrivant les animations. Parmi les nouveautés, consulter par exemple ses extraordinaires animations sur les sommes de carrés, et la nouvelle animation sur les dissections de Varsady. Désormais tous les fichiers Cabri de ce dossier sont zippés et donc se chargent beaucoup plus vite.
Aucun rapport : mentionnons, pour le fun, une animation pour souhaiter à Cabri et CabriJava, un excellent passage du millenium.
Trois nouvelles dissections de Alain Rousseau
Cinq pages sur les pavages hyperboliques réguliers avec Cabri dans la partie abraJava, donc en manipulation directe dans votre navigateur.
Les dissections portent sur la transformation d'un carré en deux carrés et d'un triangle équilatéral en trois triangles équilatéraux. Elles sont dans abraJava.Pour les pavages hyperboliques, une première page propose d'explorer pourquoi il y a une infinité de pavages avec chaque polygone régulier, alors qu'en géométrie euclidienne il n'y a que 3 pavages possibles : un avec les triangles équilatéraux, un avec les carrés, un avec les hexagones réguliers. Puis on on peut voir des pavages réguliers de carrés (et la quadrature de Pi par la même occasion), avec des pentagones, et des hexagones (et l'hexagonalisation de Pi aussi)
Note technique : Dans ces pages, abraJava utilise cette extraordinaire possibilité de CabriJava de charger des figures Cabri zippées : le pavage hyperbolique P(4,5) de seconde génération qui fait 60 Ko sous Cabri n'en fait plus que 6 quand il est zippé, ce qui fait qu'il est chargé quasiment 10 fois plus vite. Cela dit, les figures restent lourdes (jusqu'à 2000 objets) d'où la limitation à deux figures par page seulement.
Réécriture complète du dossier sur la géométrie hyperbolique dans le modèle de Klein Beltrami et nouvelle présentation de la géométrie hyperbolique dans ces deux modèles avec présentation sur la base des symétries orthogonales et trois pages sur le passage d'un modèle à l'autre.
Dans le dossier sur le modèle de Klein-Beltrami ou trouvera de nouveau :
Une présentation de l'orthogonalité et de la symétrie sur la base de l'homologie harmonique
La possibilité de mesurer les angles
Une nouvelle façon de penser la bissectrice d'un angle
La preuve d'un résultat intéressant sur les polygones réguliers
Un lien entre le nombre d'or et une configuration de triangle équilatéral.Aspiration : cette actualisation de la partie hyperbolique contient des modifications et des ajouts sur un total de 248 fichiers et environ 2,1 Mo dans plusieurs sous-dossiers du dossier répertoire principal sur les GNE.
Les figures vectorielles d'abraCAdaBRI datent de Cabri 1.1.5 et certaines, utilisant les repères ne fonctionnaient pas sous 1.1.8 (dont la version Windows). Elles ont été refaites, et elles ont l'avantage d'être manipulable dans le navigateur. Les directions propres et les ajoints d'endomorphismes comme vous auriez aimé les voir, il y a longtemps ;-)
Par exemple Pierre Delezoïde, déjà présent dans abraCAdaBRI, propose la construction des tangentes aux points de rebroussement de l'hypocycloïde enveloppant la droite de Simson par - encore une fois - intersection d'un cercle et d'une hyperbole équilatère.Dans un contexte plus didactique, Dominique Tournès nous propose un article conséquent sur l'inégalité de Ptolémée, avec des applications pour une utilisation en classe.
13 pages sur les coniques affines, autour des équations barycentriques des coniques (Pascal et applications) et surtout sur le théorème de Carnot (10 pages sur les 13) et ses nombreux cas particuliers dont l'approche affine des coniques tri-tangentes à un triangle.2 pages de compléments aux constructions affines des pages précédentes : conique par 4 points et une tangente ou encore conique par 2 points, une tangente et son contact, et une autre tangente.
3 premières pages d'une future Panoplie du constructible à la règle, au compas et à la conique. On y construit en particulier l'heptagone régulier convexe par intersection d'un cercle et d'une hyperbole équilatère.
Une page illustrant la diagonalisation simultannée de deux formes quadratiques : figure d'illustration et construction effective d'une base de diagonalisation simultannée. abraCAdaBRI ouvre ici l'ère des contributions de Pierre Delezoïde. D'autres sont en cours de rédaction.
Voir par exemple tangentes communes à deux cercles hyperboliques avec une construction qui attend votre justification ;-) ou encore quelques lignes de niveau sur les angles hyperboliques qui, là aussi, attendent vos contributions, pour une motivation à pratiquer la géométrie hyperbolique avec Cabri, et les pages sur Saccheri, mais aussi les équivalences du V° postulat, pour une entrée saisissante dans la partie historique des géométries non euclidiennes ...
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