Ce dossier sur l'axiomatique de Bachmann propose(ra) une approche assez riche sur la question, tant dans sa présentation théorique que dans l'implémentation Cabri. Les liens ci-dessus dirige(ro)nt vers des résumés. On se reportera à la page "Plan de cette partie" pour une présentation exhaustive et aller directement à un détail précis ou encore pour les références bibliographiques.

1.a. Contexte historique, objectif, première introduction

Suite aux travaux de Hilbert et de son école sur les fondements de la géométrie dans une démarche qui se veut dans une certaine continuité avec celle d'Euclide, d'autres mathématiciens ont souhaité présenter les fondement de la géométrie d'une autre manière, en particulier en s'affranchissant des axiomes de congruence et en s'orientant vers des axiomes sur les isométries, laissant aussi - peu à peu - la question de la construction du corps des coordonnées repoussé le plus loin possible.

Ce fut le cas de Hessemberg, dès 1905, qui présente une première manipulation des symétries orthogonales. Le calcul litéral sur les symétries orthogonales devient plus systèmatique avec Hjelmslev en 1907 dans un travail où l'on voit les premiers résultats sur les faisceaux absolus (il parle de "paires de droites"). Hjelmslev est aussi l'auteur du fameux théorème fondamental des plans métriques dont nous reparlerons plus loin, ainsi que de la notion de demi-rotation qui permet de plonger, de manière algébrique, tout plan métrique au sens que l'on développe ici dans une géométrie projective.

Un point de vue plus algébrique des fondements de la géométrie plane, avec une structure de groupe initiale fut présenté en 1933 par Thomson, pour la géométrie euclidienne, et ce travail fut réalisé pour la géométrie absolue la première fois par Arnold Schmidt en 1943. L'algébrisation complète de l'axiomatique de géométrie plane que l'on se propose d'exposer ici - et d'illustrer avec Cabri - est de Bachmann et date, pour sa première version, de 1959. Nous en verrons également - rapidement - une version "géométrique", mais c'est sur la partie algébrique que nous avons choisi de nous attarder.

Depuis Félix Klein, une géométrie, dans sa déclinaison algébrique, est la donnée d'un ensemble E (de points) et d'un groupe G opérant sur cet ensemble, définissant par là même les isométries, et donc la géométrie. Une approche axiomatique classique, dans le prolongement de Hilbert - mais en fait à partir de Geiger en 1924 qui est le premier à avoir séparé les ensembles de points des ensembles de droites - définit, à partir d'un ensemble de points et d'un ensemble de droites donnés à priori, une relation d'incidence et (pour les plans métriques) une relation d'orthogonalité.

Bachmann propose de s'affranchir ... de l'ensemble des points ... et de l'ensemble des droites, en identifiant celles-ci aux générateurs du groupe qui définira sa géométrie. Pour cela il faut que ces générateurs soient tous d'ordre 2 pour que les symétries orthogonales soient involutives. Le groupe opérant naturellement par conjugaison sur ses générateurs, on aura une géométrie dans laquelle l'image d'une droite est une droite dès que l'ensemble des générateurs est globalement invariant par conjugaison. Ce seront là les deux conditions préliminaires sur le groupe à partir duquel il va définir une géométrie.

Reste à voir ce que va être un point, puis l'incidence et l'orthogonalité. La présentation de Bachmann - qui veut une démarche purement formelle et entièrement algébrique - est aussi simple que lumineuse, et nous allons la découvrir dans sa lecture algébrique de la géométrie euclidienne. Elle a ceci de remarquable qu'elle couvre tous les types de géométrie et inclus aussi bien les modèles finis que ceux continus, en ajoutant des axiomes au fur et à mesure de la richesse de la structure voulue.

Cette axiomatique de Bachmann est actuellement considérée par les spécialiste comme l'aboutissement ultime du programme d'Erlangen en ce sens que la géométrie plane "absolue" est entièrement ramenée à l'étude d'un groupe particulier ... muni de seulement 5 axiomes : deux d'incidence, deux dits "de trois réflexions" sur le comportement de certains faisceaux, et enfin un d'existence pour assurer que l'on est bien dans un plan.

Le terme de "métrique" pour les plans ainsi obtenu a par contre été considéré depuis comme assez mal à propos, dans la mesure où il ne s'agit pas de définir une métrique à valeur dans un ensemble de nombres, mais seulement d'une géométrie absolue ayant une relation d'orthogonalité sur les droites. De même, le fait que Bachmann insiste sur sa non utilisation d'axiomes d'ordre reste sujet à débat : certains auteurs voient dans les faisceaux de trois droites (où l'ordre de composition intervient au moins dans les théorèmes d'anti-appariement) une utilisation sous-jacente de l'ordre projectif. D'autres répondent que dans les démonstrations, c'est essentiellement la propriété "d'être en faisceau" qui est utilisée, une propriété indépendante de l'ordre.

Quoiqu'il en soit, l'axiomatique de Bachmann est une construction algébrique particulièrement élaborée, splendide, et il est intéressant de la suivre, en particulier avec des Cabri-illustrations dans les modèles standards elliptiques et hyperboliques. Les théorèmes usuels sur les points ou les droites sont naturellement étendus aux faisceaux, ce qui donne des versions assez inattendus de théorèmes comme l'existence de l'orthocentre sur des trilatères, ou encore celui de Brianchon pour les faisceaux de droites en géométrie absolue. On retrouvera toutefois assez vite un environnement connu quand on s'apercevra que les faisceaux sont en fait la bonne notion pour définir les points idéaux d'un espace qui englobe toutes ces géométries et dont on montrera que c'est un plan projectif.