Introduction : congruence, empirisme et axiomatique

Les axiomatiques de la géométrie n'entrent pas dans la théorie générale des structures pour différentes raisons, dont certaines simplement historiques, mais peut-être aussi parce que les interprétations et modèles que l'on peut en donner se doivent de pouvoir répondre à une réalité expérimentale, immédiate et directement perceptive dans le cas euclidien, moins immédiate mais tout aussi présente dans des géométries plus abstraites (ainsi, les géométries symplectiques ont des applications significatives en quantique, etc ...)

Dans son axiomatique, Hilbert reprend la démarche d'Euclide, en particulier - contrairement à ce que l'on fera ultérieurement - il ne pose pas d'axiome entre la droite "géométrique" et celle "numérique", mais de fait, son axiomatique contient une construction complète du corps des réels, dans un chapitre intitué "la théorie des proportions", basé sur les axiomes d'ordre, de continuité, et de congruence, ce qui a fait dire à Gustave Choquet - dans l'introduction à une axiomatique rédigée à l'attention de l'enseignement :

"L'axiomatique d'Euclide-Hilbert est basée sur les notions de longueur, d'angle, de triangle. Elle cache à merveille la structure vectorielle de l'espace, au point que de nombreux siècles ont ignoré la notion de vecteurs".

Hilbert commence les premières lignes de ces fondements par ces phrases :

"Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points; nous les désignons par des majuscules A, B, C, ...; nous nommons droites les choses du deuxième système et nous les désignons par des minuscules a, b, c, ...; nous appelons plans les choses du troisième système et nous les désignons par les caractères grecs. Les points constitutent les éléments de la géométrie linéaire; les points et les droites sont les éléments de la géométrie plane; enfin les points, les droites et les plans sont ceux de la géométrie de l'espace ou de l'espace lui-même.

Entre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que "être sur", "entre", "congruent"; la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie."

On peut voir que par "trois systèmes différents de choses", les points, droites, et plans sont des ensembles biens différents, comme dans les axiomatiques plus élaborées par la suite.Il est intéressant d'observer les "analyses intuitives" que donnent les auteurs avant leur axiomatique, ce sont bien entendu les points clés de leur interprétation qui seront ensuite conceptualisés. Gilbert Arsac, dans son exposé de l'axiomatique de Hilbert, fait remarquer que :

"Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l'énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc . On pourrait dire que c'est la position d'Euclide et interpréter en partie, l'histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l'histoire d'une défiance de plus en plus grande vis à vis des vérités appuyées sur l'intuition de l'espace, mais qui aboutit à la constatation qu'on ne peut pas s'en passer totalement.

Une fois les axiomes énoncés on doit vérifier que l'emploi des objets de la géométrie qui est fait dans la démonstration finale d'une propriété (mais pas dans la recherche, qui elle fait appel à l'intuition) ne fait usage que des relations exprimées dans les axiomes et les définitions et est en droit indépendant de toute interprétation des objets de la géométrie. Cette idée est clairement exprimée par Pasch (1882) ...

On peut alors formaliser entièrement la rédaction de la démonstration en créant en particulier un symbolisme pour la logique, éliminant ainsi tout recours à la langue courante, et étudier les suites de symboles (objets concrets) que constituent alors les démonstrations, c'est le programme connu sous le nom de formalisme de Hilbert".

Pour rendre compte de la congruence - en définitive du mouvement - dans l'introduction de ses propres "fondements de la géométrie", avant de préciser la démarche axiomatique, Bela Kerekjarto prend le temps de rappeler les origines empiriques des concepts dont il va être question :

"Les bases empiriques de la géométrie sont fournies par l'examen des mouvements des corps rigiques. Aprés être arrivé par abstraction à la notion de "point", on voit que lorsqu'un corps rigide est fixé en deux points, il y a certains points qui restent à leur place lors de tous les mouvements encore possibles du corps; l'ensemble de ces deux points forment une "droite". Si le corps est fixé par deux points d'une droite, les points de la droite en question, et eux seuls, restent à leur place; ce qui peut s'exprimer de la façon suivante : deux points quelconques determinent une droite et cette droite est déterminée par n'importe lequel de deux de ses points.

En faisant continuellement tourner le corps rigide autour d'une de ses droites, tous les points du corps reviennent aprés une certaine rotation à leur place initiale; cette rotation est nommée rotation complète autour de la dite droite. Une rotation dont la répétition donne une rotation complète est appelée demi-rotation. Certaines droites se transforment elles-mêmes aprés avoir effectué une demi-rotation autour d'une droite : ce sont des droites perpendiculaires à notre droite. Par une rotation complète autour d'une droite, toute droite perpendiculaire à la droite fixée décrit un "plan". L'arrangement des points sur la droite est conforme à l'ordre de succession dans le temps selon lequel un point, en décrivant la droite, les parcourt.

Nous passons de la notion de corps rigide à celle de figure géométrique en faisant abstraction de la matière du corps et en ne considérant que la place occupée par elle dans l'espace. Deux figures seront nommées congruentes si l'une peut être superposée à l'autre par un certain mouvement (déplacement). Deux mouvements successifs peuvent être remplacés par un seul mouvement : il s'en suit que lorsqu'une figure est congurente à une autre et celle-ci à une troisième, la première figure est aussi congruente à la troisième".

L'axiomatique de Bachmann, dans sa version algébrique, repose entièrement sur les générateurs d'ordre 2 et leur composition quand celle-ci est d'ordre 2. Nous allons faire la même chose que Bela Kerekjarto - mais pour le plan uniquement - en ayant une lecture purement algébrique de ce que nous observons. La même chose ? D'une certaine manière oui car nous allons observer le comportement effectif de concepts mathématiques. La même chose ? Nnon, car justement l'objet d'observation n'est pas du domaine de l'expérience sensible mais déjà du concept mathématique. C'est une des forces de l'axiomatique de Bahmann - et plus généralement des axiomatiques qui ont succédés le travail de Hilbert - que de se dégager totalement des références empiriques, en fondant leurs analyses empiriques "à priori" sur les modèles mathématiques et non plus sur ce qu'ils sont sencés modéliser.

Point et orthogonalité

L'incidence

La composée de 3 symétries

L'axiomatique de Bachmann contient deux axiomes sur la composée de trois symétries. On peut y voir plusieurs raisons : la composée de deux symétries - en terme d'application involutive - définit l'orthogonalité. Il est intéressant de voir les conditions qui réalisent une involution avec la composée de trois symétries. On sait aussi que dans le plan, les symétries engendrent les isométries et que toute isométrie est composée de 3 symétries : à priori il n'est donc pas nécessaire de chercher au dela de trois symétries.

a - d'axes sécants

b - d'axes non sécants

En géométrie euclidienne, deux axes non sécants ont une perpendiculaire commune. Mais le cas euclidien est très particulier car la transitivité du parallèlisme amène à ce que toute autre droite non sécante à l'une des deux première sera non sécante à l'autre, et donc les trois droites ont une perpendiculaire commune. Nous observerons seulement ici que dans ce cas, la composée des trois symétries d'axes ayant une perpendiculaire commune est une symétrie.