1.b. Le vocabulaire usuel des illustrations utilisées

Géométrie absolue et géométrie neutre

Le terme de géométrie absolue a été utilisé par Bolyai pour parler d'une géométrie dans laquelle n'intervient pas l'axiome des parallèles. Les autres axiomes étant inchangé, on sait depuis que cette géométrie ne comprend donc que les structures euclidiennes et hyperboliques, ne serait-ce que parce que les droites y sont non bornées. Nous choisirons, avec de nombreux autres auteurs, d'appeler "géométrie neutre" une telle géométrie.

Nous réserverons l'adjectif d'absolu à une géométrie qui inclu aussi le cas elliptique comme l'axiomatique qui nous occupe ici.

Même si elle reste la source d'inspiration de référence, pour de nombreuses raisons historiques et épistémologiques, la géométrie euclidienne est clairement un cas très particulier des géométries absolues. C'est d'ailleurs le seul cas de géométrie de Bachmann ayant un nombre minimal de points : une géométrie à 9 points et 12 droites. Le plan métrique le plus simple est aussi le plus particulier, c'est un plan euclidien. Pour illustrer les différents concepts rencontrés dans la présentation de Bachmann, nous serons amenés à utiliser les géométries hyperboliques et elliptiques, dans leurs modèles plans standards, c'est-à-dire continus, réalisés dans l'environnement euclidien classique.

La géométrie hyperbolique est le cas où il existe des faisceaux qui n'entrent pas dans le cadre des deux théorèmes "des trois réflexions". Bachmann les appellent des faisceaux sans support, ce sont les faisceaux de droites parallèles au sens de Lobachevsky. Le cas hyperbolique est aussi celui pour lequel le plongement projectif est le plus significatif. Le modèle standard de géométrie elliptique - qui, elle, est projective - sera utilisé pour illustrer ce cas bien singulier où, dans l'approche algébrique de cette exiomatique, un point C est égal à une droite c, autrement dit une symétrie orthogonale est toujours une symétrie centrale.

Axiomes, interprétations et modèles

On dit que l'on a une interprétation d'un système d'axiome quand on fait correspondre aux mots premiers de l'axiomatiques (points, droites, incidence) des objets mathématiques précis. On dit qu'une interprétation constitue un modèle si les axiomes sont vérifiés. Un système d'axiome est dit catégorique si tous ses modèles sont nécessairement isomorphes. Par exemple le système d'axiome de Hilbert est catégorique puisqu'il redonne la géométrie euclidienne plane dont un modèle est R². Or un plan euclidien est isomorphe à R².

Commentaires et exemples sur ce thème | Un exemple de géométrie affine plane sur la base de paraboles

Dans les présentations d'axiomatique à vocation scolaire, pour des raisons évidentes d'économie, on donne en général des systèmes d'axiomes catégoriques, soit qui permettent rapidement de retrouver R, soit même qui l'utilisent dans la définition.

Dans la démarche retenue par Bachmann, le système d'axiome se veut minimal. Il engendre donc un nombre important de géométries (en particulier tous les modèles finis) que l'on sera amener à classer. Cette classification prendra en particulier tout son sens dans le plongement projectif général que l'on en fera. Mais nous n'en sommes pas là ...

Dans tout modèle d'un système d'axiomes, tout théorème déduit logiquement des axiomes est vrai, et par contraposé on a la remarque suivante :

Si un énoncé est faux dans un modèle, c'est qu'il ne peut pas être démontré à partir des axiomes.

Voyons maintenant les modèles dans lesquels nous allons illustrer toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann. Ils sont qualifiés de standards dans le sens où ils sont construits dans la géométrie euclidienne usuelle, en particulier sur la base du corps des réels.

Les modèles hyperboliques standard

Il existe trois modèles euclidiens usuels de plan hyperbolique : le disque de Poincaré est le plus commode car il est à la fois borné et conforme. Le modèle du demi-plan de Poincaré est conforme et non borné. Il est parfois préféré au précédent car il n'y a pas de point particulier (comme le centre du disque de Poincaré). Le modèle de Klein-Beltrami (historiquement le premier modèle plan construit) est borné mais non conforme. Ce troisième modèle possède l'avantage - pour les constructions Cabri - que les coniques y sont des arcs de coniques, ce qui n'est pas le cas dans les deux autres modèles.

Le disque de Poincaré

Le plan est l'intérieur d'un cercle, appelé horizon
les points sont les points à l'intérieur de l'horizon,
les droites sont les traces dans l'horizon des cercles orthogonaux à l'horizon, avec comme cas particulier les diamètres euclidiens,
la symétrie orthogonale est l'inversion euclidienne par rapport au cercle support de la droite.

Alors, si on sait que l'inverse d'un cercle orthogonal au cercle d'inversion est globalement invariant (par conservation des tangentes par exemple) il est facile de vérifier que dans cette interprétation, la symétrie orthogonale par rapport à une droite d : a) est une bijection du plan qui envoie un demi-plan sur l'autre et laisse la droite invariante point par point. b) l'image d'une droite est une droite. c) les seules droites globalement invariantes ont pour support un cercle orthogonal à la fois à l'horizon et à la droite d. Ces quelques points correspondent à l'axiomatique géométrique de la géométrie hyperbolique plane comme proposée par Jacqueline Lelong-Ferrand. Ci contre on observe clairement que (AA'), (BB') et (CC') sont orthogonales à d qui est leur perpendiculaire commune.

Le demi-plan de Poincaré

Le plan est le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. L'axe réel est appelé horizon
les points sont les points "au dessus" de l'horizon,
les droites sont les demi-cercles centrés sur l'horizon, ou les demi-droites euclidiennes orthogonales à l'horizon,
la symétrie orthogonale est l'inversion euclidienne par rapport au demi-cercle support de la droite. C'est la symétrie orthogonale euclidienne dans le cas des demi-droites euclidiennes.

Voici la même figure que ci-dessus dans ce modèle. Nous avons les mêmes propriétés (c'est la même transformation dans un autre contexte). En particulier, là encore les droites (AA'), (BB') et (MM') sont orthogonales à d qui est leur perpendiculaire commune.

 

Le disque de Klein-Belrami (dit aussi "modèle projectif")

Le plan est l'intérieur d'un cercle, appelé horizon
les points sont les points à l'intérieur de l'horizon,
les droites sont les cordes à l'intérieur de l'horizon,
la symétrie orthogonale est l'homologie harmonique (projective) par rapport à la droite support de la symétrie, de centre son pôle.

De même pour le modèle de Klein-Beltrami, il est assez rapide de voir que l'homologie harmonique d'axe d et de centre son pôle par rapport à l'horizon laisse globalement invariant le disque horizon et plus précisément échange les deux demi-plans séparés par d (comme un pliage). Il en résulte que cette homologie harmonique vérifie les propriétés attendues par la symétrie orthogonale. Le modèle n'étant pas conforme, il n'est pas visuellement perceptif que que (AA'), (BB') et (CC') sont orthogonales à d qui est leur perpendiculaire commune. En pratique elles se sont car passant toutes - par construction - par le pôle de d, ce qui est la définition de l'orthogonalité (d'où l'expression de "modèle projectif").

Le modèle elliptique standard

C'est le modèle de Klein, projection stéréoscopique de la sphère dans laquelle les points diamétralement opposés sont identifiés. C'est un modèle borné et conforme. Signalons que cette géométrie est non orientable, pour diverses raisons, mais en particulier parce que toute symétrie orthogonale est aussi un demi-tour.

Le plan est l'intérieur d'un cercle, appelé horizon (ou parfois équateur)
les points sont les points à l'intérieur de l'horizon, et les points de l'horizon, avec identification des points diamétralement opposés
les droites sont les diamètres (cas particulier) et les arcs de cercles qui coupent l'horizon en deux points diamétralement opposés,
la symétrie orthogonale est l'inversion par rapport à l'arc support de la droite de la symétrie. Quand le point n'appartient plus à l'horizon (il n'y a pas de pliage en géométrie elliptique), il y est ramené par une symétrie centrale de ce point par rapport au centre euclidien de cette droite.