1. Notations

On considère un groupe G noté multiplicativement, d'unité 1, dont l'ensemble des générateurs T vérifie deux propriétés :

Tous les générateurs sont d'ordre 2
L'ensemble des générateurs est globalement stable par conjugaison.

Dans toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann, on désignera :

Par une lettre minuscule grecque un élément de G, appelée une isométrie.
Par une lettre minuscule latine un élément de T.
Par une lettre majuscule latine (autre que G et T qui sont des "mots réservés") le produit de deux éléments de T quand ce produit est d'ordre 2.
Par | la relation "être d'ordre 2".

Ainsi "a | b" signifie (ab)² = 1 ou encore ab=ba.
De même "P | a" signfie (Pa)² = 1 ou encore Pa = aP
On dira oralement "ab d'ordre 2" ou "Pa d'ordre 2" en lisant a | b ou P | a.

On choisit de noter "P, Q | a" pour signifier "P | a" et "Q | a".
De même on écrira "P, Q | a, b" pour dire "P, Q |a" et "P, Q |b".

Pour cette mise en ligne, on notera "a ‚ b" pour exprimer que le produit ab N'EST PAS d'ordre 2.

Le groupe G opère naturellement par conjugaison sur lui-même, et donc en particulier sur T.
L'action d'un élément g de G sur un autre élément a a pour résultat gag^-1 et se notera dans la suite a^g.

On remarquera que si a | b alors a^b = a et b^a = b. De même si P | a alors P^a = P et a^P = a.

2. Axiomes

Le couple (G, T) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants :

Axiomes d'incidence

Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g (de T) tel que P, Q | g

Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h

Axiomes des trois symétries

Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d (de T) tel que abc = d

Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d (de T) tel que abc = d

Axiome d'existence d'un plan

Axiome T : il existe g, h, j (de T) tel que g | h et j ‚ h , j ‚ g, j ‚ gh.

 

3. Incidence et orthogonalité

Droites et points

Dans cette géométrie, on appelle droite les éléments de T, c'est-à-dire les générateurs d'ordre 2. On appelle point le produit de deux générateurs quand ce produit est d'ordre 2 :

Si a et b sont deux droites et a | b alors P = ab est un point.

On comprend bien que cette approche totalement algébrique identifie les symétries orthogonales aux droites et les symétries centrales aux points. Alors, de par la structure du groupe, présentée en préliminaire aux axiomes, et en particulier le fait que l'ensemble des générateurs du groupe soit stable par conjugaison, il en résulte que l'image d'une droite par un élément de G est une droite. Nous verrons plus loin que les éléments de G sont naturellement des collinéation orthogonales, comme définie dans l'approche plus géométrique de l'axiomatique de Bachman.

Dans les items suivants, le lecteur commencera peu à peu à sentir comment la puissance du calcul algébrique va être mise à profit, dans cette présentation, pour obtenir des résultats généraux par la simple manipulation de calcul sur les éléments d'un groupe.

Orthogonalité et incidence

Soient P un point et a une droite. Dans un premier temps, on dira que P et a sont incidents si P | a. Cette définition demande toutefois à être précisée.

De même, étant données deux droites a et b, on dira qu'elles sont orthogonales si a | b. Elles sont alors distinctes.

Il est clair que deux droites orthogonales a et b sont incidentes à P = ab car : si a | b alors ab | a et ab | b.

Pôle et polaire. Ce système d'axiome n'empèche pas - tout a été fait pour ... - l'existence dans l'ensemble des générateurs de trois droites a, b et c telles que le produit soit l'identité : abc = 1. Il est immédiat que ces droites sont alors deux à deux distinctes.

Dans ce cas ab = c est d'ordre 2 et donc a | b. Il en résulte que ab est un point C. On est ainsi dans cette situation où un point C est égal à une droite c. On voit alors, par permutation circulaire, que les trois droites sont deux à deux orthogonales.

L'égalité est à prendre pour la structure de groupe : la symétrie orthogonale par rapport à la droite c est égale à la symétrie centrale autour du point C.

On dit alors que C est le pôle de c et c la polaire de C.

Précision sur l'incidence. Quand C = c, on a bien-sûr C | c. Toutefois, pour éviter qu'un point soit incident à lui-même, on ne dit pas que C et c sont incidents. Ainsi la définition sur l'incidence que l'on retiendra sera désormais :

P est incident à a ssi (P | a et P est différent de a). Et on écrira P I a.

Par contraposée, P n'est pas incident à a ssi (P^a est différent de P) ou (P = a)

En pratique, cette distinction est importante tant que l'on est en géométrie absolue, quand les différents types de géométrie ne sont pas dissociés. En réalité, cette situation ne se rend compte qu'en géométrie elliptique. En géométrie absolue, pour traiter la situation P | a, on sera amené à distnguer le cas P égal à a et P différent de a : dans ce cas P et a sont incidents.

Sur l'axiome d'existence du plan

Cet axiome signifie qu'il existe deux droites orthogonales g et h, et une troisième droite j, ni orthogonale à g ni orthogonale à h et ne passant pas par l'intersection - le point incident gh - des deux droites g et h. Autrement dit - à l'existence des points d'intersection près que l'on verra plus loin - cet axiome signifie qu'il existe dans le plan un triangle rectangle.

Cet axiome correspond, dans le cas de cette axiomatique, à l'axiome d'incidence du plan qui demande qu'il existe trois points non incidents à la même droite.

4. Image par une isométrie

On a déjà dit que l'image d'une droite par une isométrie - un élément de G - est une droite. Voyons ce qu'il en est du comportement des isométries sur l'incidence et l'orthogonalité.

Image d'un point

Soit P = ab un point (avec a | b) et g une isométrie. Alors P^g = (ab)^g = a^gb^g avec a^g | b^g. Ansi, l'image d'un point par une isométrie est un point : les isométries laissent stablent l'ensemble des droites et l'ensemble des points.

Conservation de l'incidence

Si A = a alors pour toute isométrie g, A^g = a^g : l'image par une isométrie du pôle d'une droite est pôle de l'image de la droite.

Si un point A n'est pas égal à la droite a, alors A | a entraine que pour toute isométrie g, A^g | a^g, tout simplement parce que (Aa)^g = A^ga^g et donc [(Aa)^g]² = 1.

Autrement dit l'image par une isométrie d'un point et d'une droite incidente sont un point et une droite incidente : l'isométrie conserve l'incidence.

Conservation de l'orthogonalité

De même, si a | b, pour toute isométrie g de G, a^g | b^g : les isométries conservent aussi l'orthogonalité.

A ce stade, on peut dire que la sructure du groupe de départ assure que les éléments de G sont des collinéations orthogonales. D'où l'utilisation du terme "isométrie".

Droites invariantes par l'action d'une droite (ie par symétrie orthogonale)

Soit u et a deux droites. Si a = u, alors uau = a, et donc a^u = a. Sinon uau = a ssi (ua)² = 1 ssi u | a.

Autrement dit, les seules droites a globalement invariantes par l'action de u sont la droite u elle-même et toutes les droites a orthogonales à u.

5. Les faisceaux

Définition

Trois droites a, b, et c sont dites en faisceaux si la composée des trois abc est une droite.

La notion n'est significative que si les droites sont distinctes, ce que l'on supposera désormais.

Pour trois droites, "être en faisceau" est indépendant de l'ordre : supposons que abc soit une droite, alors :

cab est une droite car cab = c (abc) c^-1 = (abc)^c
cba est une droite car cba = (abc)^-1
acb est une droite car acb = a (cba) a^-1 = (cba)^a
bca est une droite car bca =(acb)^-1
bac est une droite car bac = (cab)^-1

Faisceaux à centre, à axe et sans support

L'axiome 3 veut que si trois droites sont incidentes à un point - ie ont un point commun - alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à centre.

De même l'axiome 4 veut que si trois droites sont orthogonales à un droite donnée, alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à axe.

Mais la notion est plus générale que ces deux cas particuliers (prenser aux droites parallèles de la géométrie hyperboliques). Quand l'un de ces deux cas n'est pas satisfait, on parle de faisceau sans support.

Cette notion de faisceau permettra, pour le plongement projectif, de définir les points idéaux. D'une manière générale, la géométrie élémentaire est, pour partie, la géométrie des faisceaux. Nous y reviendrons largement.

Faisceau de deux droites distinctes

Soient a et b deux droites distinctes, on note F(a, b), et on appelle ensemble des droites "de même faisceau que a et b", l'ensemble des droites c telle que abc soit une droite. Cet ensemble ne dépend que du produit ab, on parle du faisceau F(ab).

Dans la partie sur les faisceaux, nous montrerons que si a et b sont incidentes à un point P, les droites de F(a, b) passent par P, c'est un faisceau à centre. De même, si a et b ont une perpendiculaire commune h, les droites du faisceau sont aussi orthogonales à h, c'est un faisceau à axe. Il existe des faisceaux sans support.

Le théorème fondamental des plans métriques permettra de construire la droite passant par un point et appartenant à un faisceau donné F(ab), comme utilisé dans cette figure de présentation ou encore l'intersection de deux faisceaux.