Dans la présentation retenue pour ce dossier, nous avons volontairement favorisé l'orientation la plus algébrique proposée par Bachmann, celle qui se situe aux limites du programme d'Erlangen de Hilbert. Toutefois, le même esprit, basé en particulier sur les axiomes des trois symétries, peut se présenter comme on le fait de manière standard dans les axiomatiques géométriques. Voici un exemple de ce que l'on peut proposer. Chacun fera le lien entre les expressions des axiomes ou des propriétés de l'une des présentations et celles de l'autre.

Définitions

Points et droites sont des "notions premières", c'est-à-dire des concepts de base implicitement définis qui sont interprétés dans des modèles du système axiomatique.

On notera l'ensemble des points, l'ensemble des droites, la relation d'incidence et la relation d'orthogonalité. D'une manière générale, les majuscules désigneront des points et les minuscules des droites.

Incidence : c'est une relation de : M d se lit "M et d sont incidents", mais aussi "M est sur la droite d" ou "la droite d passe par M". Dans les modèles standards, l'incidence est l'appartenance du point à la droite.

Orthogonalité : c'est une relation de : d d' se lit "d est orthogonale à d'", ou encore "d est perpendiculaire à d'".

Collinéation : une application bijective f de dans lui-même est dite une collinéation quand :

elle laisse stable l'ensemble des points : f() = ,
elle laisse stable l'ensemble des droites : f() = ,
elle est compatible avec l'incidence : si M d, alors f(M) f(d).

 

Collinéation orthogonale : c'est une collinéation f qui est de plus compatible avec l'orthogonalité : si d d' alors f(d) f(d').

Réflexion : Soit d une droite, on appelle réflexion par rapport à d - ou encore d'axe d - et on note s_d, une collinéation orthogonale différente de l'identité Id (de ) qui

laisse d invariante point par point,
et soit telle que s_d o s_d = Id.

Isométries : ce sont les bijections composées de réflexions. Elles forment un groupe.

Axiomes des plans métriques

Un ensemble de points et de droites est appelé Plan Métrique (au sens de la géométrie absolue de Bachmann) quand il vérifie les trois groupes d'axiomes suivants :

Incidence - (axiomes M1)

Il existe au moins une droite.
Toute droite contient au moins trois points.
Par deux points distincts M et N, il passe une et une seule droite, notée par la suite (MN).

Orthogonalité - (axiomes M2)

Si d est orthogonale à d', alors d' est orthogonale à d, et il existe un unique point commun à d et d'.
Si M est un point et d une droite, il existe une droite perpendiculaire à d et incidente à M. Cette droite est unique si M est sur d.

Réflexions - (axiomes M3)

Toute droite d est l'axe d'au moins une réflexion
La composée de trois réflexions par rapport à trois droites ayant en commun un point ou une perpendiculaire est une réflexion par rapport à une droite.

Le concept de réflexions et d'isométries remplace la congruence des axiomatiques de type Euclide-Hilbert : le groupe des isométries permettra d'écrire plus simplement - avec le vocabulaire de l'algèbre - certaines propriétés géométriques de base.

Conséquences immédiates de ces axiomes de base

Propriété 1

Pour toute droite du plan métrique, il existe une et une seule réflexion d'axe cette droite.

Propriété 2

Une droite d et ses perpendiculaires sont les seules droites stables - ie globalement invariantes - par la symétrie d'axe d. 

Propriété 3

Il existe au moins deux droites d1 et d2 perpendiculaires et une droite d, perpendiculaire ni à d1 ni à d2 et qui ne passe pas par l'intersection de ces deux droites.

Cette propriété montre qu'on ne peut pas réaliser un plan métrique de Bachmann avec des ensembles à 3, 4 ou 5 points comme nous l'avons fait avec les axiomes d'incidences usuels. On expose plus bas l'exemple de plan métrique de Bachmann minimal : il comporte 9 points et 12 droites.

Définition

On appelle symétrie centrale de centre P la composée de deux réflexions d'axes orthogonaux sécants en P.

Propriété 4

Pour tout point P du plan métrique, il existe une et une seule symétrie centrale de centre P.

 

Exemple de plan métrique fini de Bachmann

Voici un exemple formé de 9 points et 12 droites. On a choisi de représenter les points sur un carré euclidien afin que l'orthogonalité dans ce plan corresponde pour l'essentiel à l'image mentale de l'orthogonalité euclidienne. Les droites sont des ensembles à 3 éléments.