Cette partie est l'occasion (dans les preuves) de voir fonctionner les axiomes de Bachmann tout d'abord sur les notions de base relatives aux points et à l'orthogonalité puis sur des compléments autour des axiomes des trois symétries.  

Rappel : dans cette axiomatique, les droites sont les éléments générateurs du groupe et les points leurs composées quand elles sont orthogonales. On travaille donc toujours sur les éléments d'un groupe, avec le vocabulaire et les méthodes de calcul adaptés.

Incidence et orthogonalité

Th 1 : Soient deux droites distinctes a et b, telles que P | a, b et a | b alors P = ab et réciproquement.

On retiendra que tout point P est le produit de toute paire de droites orthogonales incidentes à P.

Th 2 : Soient a, b, c trois droites. Alors abc = 1 ssi (a | b et a | c et b | c)

Autrement dit, il y a équivalence entre l'orthogonalité de trois droites prises deux à deux et le produit des trois égal à 1.

Th 3 : Soient P un point et g une doite. Alors il existe une droite h telle que P | h, et h | g.

Il existe toujours (au moins) une perpendiculaire à une droite donnée issue d'un point donné.

Th 4 : Soient P un point et g une droite. Si P est différent de g alors si P | a, b et a, b | g alors a = b.

De plus il y a unicité de cette perpendiculaire si la droite n'est pas le pôle du point. Plus précisément ce théorème précise que, si deux droites passent par P et sont orthogonales à une droite g non polaire à P, alors ces deux droites sont confondues.

Th 5 : Toute droite d'un plan métrique de Bachmann est incidente à au moins trois points.

Preuve des théorèmes 1 à 5 : sans illustration | Avec illustration CabriJava : Th 1 et 2 | Th 3 et 4 | Th 5

Sur les axiomes de trois symétries

Th 6 : Si P est incident à a, b, et c et abc = d, alors P est incident à d.

Ou encore, dans l'axiome 3, la droite produit passe par le point incident (moins trivial que l'on pourraît croire à cause du cas "pôle = polaire" à prendre en compte).

Th 7 : Si g est orthogonale à a, b, c et d = abc, alors d est orthogonle à g.

Dans l'axiome 4, la droite porduit est orthogonale à l'axe.

Th 8 : Soit P un point incident à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors P | c.

Théorème que l'on appellera généralement "réciproque de l'axiome 3".

Th 9 : Soit g une droite orthogonale à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors g | c.

Théorème que l'on appellera généralement "réciproque de l'axiome 4".

Preuve des théorèmes 6 à 9 : sans illustration | Avec illustration CabriJava : Th 6 et 7 | Th 8 | Th 9