Complément à l'axiome 3

Th 6 : Si P est incident à trois droites a, b, et c, et si on note d = abc, alors P est incident à d.

P est incident à d ssi (abcP = Pabc) et (abc différent de P)

La première assertion abcP = Pabc est vraie car P étant incident à chaque droite, P commute avec chacune d'elle : Pa = aP, Pb = bP et Pc = cP. La commutativité de P et du produit abc en découle.

Montrons la seconde assertion par l'absurde. Supposons que abc = P, alors ab = Pc et comme P | c, Pc est d'ordre 2 et donc a | b.
Par le théorème 1, come a, b | P et a | b, on a ab = P. Donc Pc = P soit c = 1,ce qui est absurde.

 

Complément à l'axiome 4

Th 7 : Si a, b, c sont trois droites orthogonales à g et si on note d = abc, alors d est orthogonale à g

d est orthogonales à g ssi (d | g) et (d est différente de g)

Comme ci-dessus la première assertion vient de la commuativité de a avec chacune des droites a, b, et c : elle est donc commutative avec le produit.

Montrons la seconde assertion également par l'absurde : si d = g, on aurait a, b, c | abc, et donc a | b, b | c, c | a et donc, d'après le théorème 2, abc = 1, soir d = 1 ce qui est absurde puisque d est une droite.

Illustrations CabriJava des théorèmes 6 et 7

Réciproque de l'axiome 3

Th 8 : Soient a et b deux droites distinctes et P un point incident à a et b. Si c est une droite telle que le produit abc soit une droite d, alors P est incident à c.

Soit b' une perpendiculaire à c incidente à P. Notons P' = b'c. Nous voulons montrer que P = P'. On sait que P' est incident à b' et c.

Les trois droites a, b, et b' sont incidentes à P. L'axiome 3 assure qu'il existe une droite a' telle que abb' = a', et le complément de l'axiome 3 permet de préciser que P est incident à a' puisque c'est le cas des trois droites. De plus, puisque a et b sont distinctes, a' et b' le sont aussi.

Mais a'b'c = abb'b'c = abc = d, et donc b'c = a'd soit a'd = P. Or le théorème 1 permet d'en déduire que P' est incident à a' (et d | a').

On a donc P, P' | a', b' avec a' et b' distinctes : par l'axiome 2, on peut en déduire que P = P' et donc P incident à c.

Illustrations CabriJava du théorème 8

Réciproque de l'axiome 4

Th 9 : Soient a et b deux droites distinctes et g une perpendiculaire commune à a et b. Si c est une droite telle que le produit abc soit une droite d, alors g est perpendiculaire à c.

En préliminaire, remarquons qu'avec les hypothèses, on ne peut avoir c = g. En effet, nous avons a | g et b | g. Si abg était une droite, on aurait - faire le calcul - aussi a | b. Et donc abg serait égal à 1 par le théorème 2 : ce ne serait pas une droite.

Soit P un point arbitraire incident à c : on a c | P d'ordre 2. Regardons tout d'abord le cas particulier où P serait égal à g : si P = g, on a c | g et donc c orthogonale à g (car c = g a été exclus dans le préliminaire).

Nous sommes donc maintenant dans le cas où P est différent de g. Alors par P il existe une unique perpendiculaire à g, que nous nommerons c'. Il s'agit de montrer que c' = c.

Tout d'abord, puisque a, b et c' sont toutes trois orthogonales à g, l'axiome 4 permet de dire que abc' est une droite d', et le complément à l'axiome 4 (Théorème 7) précise que d' est aussi orthogonale à g. Il en résulte que dc = ab = d'c' et donc cc'd' = d.

Supposons que c soit différente de c', on peut appliquer le théorème 8 à la situation : P est incident à c et c', et comme cc'd' est une droite, il en résulte que P est aussi incident à d'.

Ainsi, P est incident à c' et d'. De plus P est différent de g, et g est orthogonale à c' et d'. D'après le théorème 4 - l'unicité de la perpendiculaire à une droite (g) issue d'un point (P) qui lui est différent - les droites c' et d' sont égales, d'où ab = c'c' = 1 soit a = b, ce qui est exclus par hypothèse.

Donc c = c'.

Illustrations CabriJava du théorème 9