Th 1 : Soient deux droites distinctes a et b, telles que P | a, b et a | b alors P = ab et réciproquement.

Sens direct

ab est un point Q tel que Q | a, b car aQ = b d'ordre 2 et Qb = a d'ordre 2.

On a donc P, Q | a, b et a différent de b. Donc par l'axiome 2, il en résulte P = Q.

Sens réciproque

Si P = ab, alors a | b et aP = b est d'ordre 2 donc P | a et de même Pb = a d'ordre 2 d'où P | b.

 

Th 2 : Soient a, b, c trois droites. Alors abc = 1 ssi (a | b et a | c et b | c)

Le sens direct (immédiat) a déjà été vu dans la présentation des axiomes - à la partie incidence. Réciproquement, si les droites sont deux à deux orthogonales, c'est-à-dire (ab)² = (ac)² = (cb)² = 1 alors (abc)² = 1. Soit abc = 1 soit abc est différent de 1. On veut montrer la première alternative.

Plaçons dans le second cas pour montrer une contradiction. Notons C =ab, c'est un point car a et b sont orthogonales et de plus C n'est pas le pôle de c - ou encore C n'est pas égal à c) car abc est ici supposé différent de 1. abc étant involutive, on a ab | c et donc C I c (car C n'est pas égal à c). Par ailleurs C = ab | b donc C est aussi incident à b.

Nous sommes donc dans la situation où C est incidente à b et à c, avec b et c orthogonales. D'aprés le théorème 1, C = bc. Autrement dit ab = bc, et donc a = c, ce qui est contradictoire avec le fait que les droites a et c sont orthogonales : a | c.

Illustration CabriJava des théorèmes 1 et 2

Th 3 : (Existence d'une perpendiculaire) Soient P un point et g une droite. Alors il existe une droite h telle que P | h, et h | g.

On distinguera deux cas, selon que P est - ou non - incident à g.

Cas 1 : P est incident à g : on a donc P | g. Alors Pg est une droite. En effet, en écrivant P = ab, il vient (par le sens direct du théorème 1) g, a, b | P et par l'axiome 3, on en déduit qu'il existe une droite h telle que abg = h, soit Pg = h. On a donc aussi P =hg, et d'aprés la réciproque du théorème 1, on a que P | h et h | g. La droite h est orthogonale à g et incidente à P.

Cas 2 : P n'est pas incident à g. Alors deux sous-cas sont possibles :
soit P = g (droite polaire du point)
soit P est différent de son image par g : Le point P est différent de P' = P^g.

2.a. Supposons que P et P' soient deux points distincts. Alors par l'axiome 1, il existe une droite h telle que P, P' | h. Alors par application de g - involutive(P'^g = P) - il en résulte que P', P | h^g = h'. On a donc P, P' | h, h' et comme par hypothèse P et P' sont différents, l'axiome 2 assure que h = h'. Il en résulte que h est globalement invariante par g.
Or comme h et g sont différentes (puisque P | h et que ce n'est pas vrai pour g) la seule possibilité est que h | g (propriété vue déjà vue ici)

2.b. Supposons P = g : P et g sont pôle et polaire l'un de l'autre. Alors pour toute droite c telle que c | P, on a c | g (et réciproquement). Soit alors a et b telles que P = ab. Par le théorème 1, on sait que a, b | P et donc a, b | g. Dans ce cas non seulement il existe une perpendiculaire, mais il en existe plus qu'une : toute droite incidente à P convient.

Dans tous les cas, on peut appeler le point gh pied de la perpendiculaire h issue de P. C'est un point de g.

Le théorème suivant montre que le cas 2.b est le seul cas où la perpendiculaire n'est pas unique.

Th 4 : (Unicité de la perpendiculaire) Soient P un point et g une droite. Si P est différent de g alors si P | a, b et a, b | g alors a = b.

Il s'agit de montrer que si deux droites passent par P et sont toutes les deux orthogonales à une droite g non polaire de P, alors ces deux droites sont confondues. Là encore distinguons le cas où P est ou non incident à g.

Cas 1 : si P est incident à g : on a P | g. Comme par hypothèse a | P et a | g, le théorème 1 permet de dire que P = ag. Pour la même raison P = bg. On a donc ag = bg, soit a = b.

Cas 2 : Si P n'est pas incident à g. Alors, puisque nous sommes dans le cas où P n'est pas le pôle de g, nécessairement P' = P^g est différent de P.
Par hypothèse a, b | P et donc a^g, b^g | P'. Or puisque g est orthogonale à la droite a, a^g = a. De même b^g = b. Il en résulte donc que a, b | P, P'. Comme P et P' sont deux points distincts, par l'axiome 2, les droites a et b sont confondues.

Illustration CabriJava des théorèmes 3 et 4

Th 5 : Toute droite d'un plan métrique de Bachmann est incidente à au moins trois points.

Nous allons démontrer ce résultat en plusieurs étapes, et pour cela nous utiliserons l'axiome 5, c'est-à-dire l'existence de 3 droites g, h, j telle que g et h sont orthogonales, j n'étant ni orthogonale à g et à h et non incidente au point gh.

Etape 1 - Lemme : si une droite a est incidente à 3 points, toute droite non perpendiculaire à a est aussi incidente à 3 points.

Preuve de ce lemme : Soient M, N et P trois points incidents à a et soit b une droite non orthogonale à a. Alors il existe, sur b, les points M', N', P', pied des perpendiculaires à b issues de M, N, et P. Montrons par l'absurde que ces trois points sont distincts. En effet si deux points sont confondus, cela signifie qu'en ce point (de b) il existe deux perpendiculaire à b issues d'un point de a. Par le théorème 4 ces deux droites sont égales, et par l'axiome 2, elles sont égales à la droite a. Ce qui contredit l'hypothèse que a n'est pas orthogonale à b.

Etape 2 - S'il existe une droite incidente à 3 points toute droite est alors incidente à 3 points (au moins).

D'une part, d'aprés le lemme ci-dessus, si une des trois droites g, h ou j de l'axiome 5 est incidente à trois points, il en résulte que les trois le seront.

D'autre part, considérons une droite quelconque a. Remarquons qu'elle ne peut être orthogonale aux trois droites g, h, j de l'axiome 5. En effet, si a est orthogonale aux trois droites, elle l'est en particulier pour g et h (orthogonales entre elles) et donc, par le théorème 2, on en déduit que agh = 1 soit encore a = gh. On aurait alors que gh | j ce qui est contraire à l'hypothèse de l'axiome 5.

Donc si une droite a est incidente à 3 points, il en est de même des trois droites de l'axiome 5 puisque c'est vrai au moins pour l'une d'elle. Une droite quelconque b ne pouvant être elle aussi orthogonale aux trois droites g, h, j, il en résulte qu'elle aussi contient au moins trois points.

Etape 3 - Construisons une droite incidente à trois points distincts.

Considérons la droite l, la perpendiculaire à j issue de gh. On peut parler "la perpendicualire" car j n'étant pas orthogonale à h, on est assuré que le point gh n'est pas égal à j (gh = j aboutit à hj = g et donc h | j ce qui n'est pas) il y a donc unicité par le théorème 4. Cette droite l est incidente aux points gh, et lj, mais aussi à son symétrique (lj)^gh. Pour montrer cette troisème incidence, on remarque tout d'abord que l^gh = l (car gh | l) et ensuite il suffit de vérifier que [l(lj)^gh]²=1). Reste à voir que ces trois points sont bien deux à deux distincts.

gh et lj. Ces deux points sont distincts tout simplement parce que j est incidente à lj et pas à gh.

gh et (lj)^gh. Comme gh et lj sont différents par application de la biejction gh, on peut dire que (gh)^gh et (lj)^gh sont différents et donc que gh est différent de (lj)^gh. 

lj et (lj)^gh. On a que (lj)^gh = l^gh j^gh = l(j)^gh car l^gh = l. Donc si il y avait égalité entre lj et (lj)^gh, on aurait aussi j = j^gh. Ce qui signfiei que soit gh | j soit que j = gh. Le premier cas est exclus dans l'axiome 5, le second aussi comme vu au début de cette étape 3.

Ainsi ces trois points sont bien à deux distincts : nous avons trouvés trois point sur la perpendiculaire à j issue de gh dans les droites de l'axiome 5. Ceci prouve quae, dans l'axiomatique de Bachmann, toute droite a au moins trois points. Bachmann a donné un exemple de plan fini mimal remplissant ses axiometes : ses droites ont effectivement trois points. Il a 9 points et 1é droites ... et c'est un plan euclidien. Il est décrit à ces pages (en CabriJava)

Illustrations CabriJava du théorème 5 (ce qui rend les choses plus simple à voir ;-)