Th 3 : (Existence d'une perpendiculaire) Soient P un point et g une droite. Alors il existe une droite h telle que P | h, et h | g.

On distinguera deux cas, selon que P est - ou non - incident à g.

Cas 1 : P est incident à g : on a donc P | g. Alors Pg est une droite. En effet, en écrivant P = ab, il vient (par le sens direct du théorème 1) g, a, b | P et par l'axiome 3, on en déduit qu'il existe une droite h telle que abg = h, soit Pg = h. On a donc aussi P =hg, et d'aprés la réciproque du théorème 1, on a que P | h et h | g. La droite h est orthogonale à g et incidente à P.

Cas 2 : P n'est pas incident à g. Alors deux sous-cas sont possibles :
soit P = g (droite polaire du point)
soit P est différent de son image par g : Le point P est différent de P' = P^g.

2.a. Supposons que P et P' soient deux points distincts. Alors par l'axiome 1, il existe une droite h telle que P, P' | h. Alors par application de g - involutive(P'^g = P) - il en résulte que P', P | h^g = h'. On a donc P, P' | h, h' et comme par hypothèse P et P' sont différents, l'axiome 2 assure que h = h'. Il en résulte que h est globalement invariante par g.
Or comme h et g sont différentes (puisque P | h et que ce n'est pas vrai pour g) la seule possibilité est que h | g (propriété vue déjà vue ici)

2.b. Supposons P = g : P et g sont pôle et polaire l'un de l'autre. Alors pour toute droite c telle que c | P, on a c | g (et réciproquement). Soit alors a et b telles que P = ab. Par le théorème 1, on sait que a, b | P et donc a, b | g. Dans ce cas non seulement il existe une perpendiculaire, mais il en existe plus qu'une : toute droite incidente à P convient.

Dans tous les cas, on peut appeler le point gh pied de la perpendiculaire h issue de P. C'est un point de g.

Le théorème suivant montre que le cas 2.b est le seul cas où la perpendiculaire n'est pas unique.  

Th 4 : (Unicité de la perpendiculaire) Soient P un point et g une droite. Si P est différent de g alors si P | a, b et a, b | g alors a = b.

Il s'agit de montrer que si deux droites passent par P et sont toutes les deux orthogonales à une droite g non polaire de P, alors ces deux droites sont confondues. Là encore distinguons le cas où P est ou non incident à g.

Cas 1 : si P est incident à g : on a P | g. Comme par hypothèse a | P et a | g, le théorème 1 permet de dire que P = ag. Pour la même raison P = bg. On a donc ag = bg, soit a = b.

Cas 2 : Si P n'est pas incident à g. Alors, puisque nous sommes dans le cas où P n'est pas le pôle de g, nécessairement P' = P^g est différent de P.
Par hypothèse a, b | P et donc a^g, b^g | P'. Or puisque g est orthogonale à la droite a, a^g = a. De même b^g = b. Il en résulte donc que a, b | P, P'. Comme P et P' sont deux points distincts, par l'axiome 2, les droites a et b sont confondues.