Réciproque de l'axiome 3

Th 8 : Soient a et b deux droites distinctes et P un point incident à a et b. Si c est une droite telle que le produit abc soit une droite d, alors P est incident à c. 

Soit b' une perpendiculaire à c incidente à P. Notons P' = b'c. Nous voulons montrer que P = P'. On sait que P' est incident à b' et c.

Les trois droites a, b, et b' sont incidentes à P. L'axiome 3 assure qu'il existe une droite a' telle que abb' = a', et le complément de l'axiome 3 permet de préciser que P est incident à a' puisque c'est le cas des trois droites. De plus, puisque a et b sont distinctes, a' et b' le sont aussi.

Mais a'b'c = abb'b'c = abc = d, et donc b'c = a'd soit a'd = P. Or le théorème 1 permet d'en déduire que P' est incident à a' (et d | a').

On a donc P, P' | a', b' avec a' et b' distinctes : par l'axiome 2, on peut en déduire que P = P' et donc P incident à c.

Réciproque de l'axiome 4

Th 9 : Soient a et b deux droites distinctes et g une perpendiculaire commune à a et b. Si c est une droite telle que le produit abc soit une droite d, alors g est perpendiculaire à c.

De même .. à faire