Réciproque de l'axiome 4

Th 9 : Soient a et b deux droites distinctes et g une perpendiculaire commune à a et b. Si c est une droite telle que le produit abc soit une droite d, alors g est perpendiculaire à c.

En préliminaire, remarquons qu'avec les hypothèses, on ne peut avoir c = g. En effet, nous avons a | g et b | g. Si abg était une droite, on aurait - faire le calcul - aussi a | b. Et donc abg serait égal à 1 par le théorème 2 : ce ne serait pas une droite.

Soit P un point arbitraire incident à c : on a c | P d'ordre 2. Regardons tout d'abord le cas particulier où P serait égal à g : si P = g, on a c | g et donc c orthogonale à g (car c = g a été exclus dans le préliminaire).

Nous sommes donc maintenant dans le cas où P est différent de g. Alors par P il existe une unique perpendiculaire à g, que nous nommerons c'. Il s'agit de montrer que c' = c.

Tout d'abord, puisque a, b et c' sont toutes trois orthogonales à g, l'axiome 4 permet de dire que abc' est une droite d', et le complément à l'axiome 4 (Théorème 7) précise que d' est aussi orthogonale à g. Il en résulte que dc = ab = d'c' et donc cc'd' = d.

Supposons que c soit différente de c', on peut appliquer le théorème 8 à la situation : P est incident à c et c', et comme cc'd' est une droite, il en résulte que P est aussi incident à d'.

Ainsi, P est incident à c' et d'. De plus P est différent de g, et g est orthogonale à c' et d'. D'après le théorème 4 - l'unicité de la perpendiculaire à une droite (g) issue d'un point (P) qui lui est différent - les droites c' et d' sont égales, d'où ab = c'c' = 1 soit a = b, ce qui est exclus par hypothèse.

Donc c = c'.