Th 5 : Toute droite d'un plan métrique de Bachmann est incidente à au moins trois points.

Nous allons démontrer ce résultat en plusieurs étapes, et pour cela nous utiliserons l'axiome 5, c'est-à-dire l'existence de 3 droites g, h, j telle que g et h sont orthogonales, j n'étant ni orthogonale à g et à h et non incidente au point gh.

Etape 1 - Lemme : si une droite a est incidente à 3 points, toute droite non perpendiculaire à a est aussi incidente à 3 points.

Preuve de ce lemme : Soient M, N et P trois points incidents à a et soit b une droite non orthogonale à a. Alors il existe, sur b, les points M', N', P', pied des perpendiculaires à b issues de M, N, et P. Montrons par l'absurde que ces trois points sont distincts. En effet si deux points sont confondus, cela signifie qu'en ce point (de b) il existe deux perpendiculaire à b issues d'un point de a. Par le théorème 4 ces deux droites sont égales, et par l'axiome 2, elles sont égales à la droite a. Ce qui contredit l'hypothèse que a n'est pas orthogonale à b.

Etape 2 - S'il existe une droite incidente à 3 points toute droite est alors incidente à 3 points (au moins).

D'une part, d'aprés le lemme ci-dessus, si une des trois droites g, h ou j de l'axiome 5 est incidente à trois points, il en résulte que les trois le seront.

D'autre part, considérons une droite quelconque a. Remarquons qu'elle ne peut être orthogonale aux trois droites g, h, j de l'axiome 5. En effet, si a est orthogonale aux trois droites, elle l'est en particulier pour g et h (orthogonales entre elles) et donc, par le théorème 2, on en déduit que agh = 1 soit encore a = gh. On aurait alors que gh | j ce qui est contraire à l'hypothèse de l'axiome 5.

Donc si une droite a est incidente à 3 points, il en est de même des trois droites de l'axiome 5 puisque c'est vrai au moins pour l'une d'elle. Une droite quelconque b ne pouvant être elle aussi orthogonale aux trois droites g, h, j, il en résulte qu'elle aussi contient au moins trois points.

Etape 3 - Construisons une droite incidente à trois points distincts.

Considérons la droite l, la perpendiculaire à j issue de gh. On peut parler "la perpendicualire" car j n'étant pas orthogonale à h, on est assuré que le point gh n'est pas égal à j (gh = j aboutit à hj = g et donc h | j ce qui n'est pas) il y a donc unicité par le théorème 4. Cette droite l est incidente aux points gh, et lj, mais aussi à son symétrique (lj)^gh. Pour montrer cette troisème incidence, on remarque tout d'abord que l^gh = l (car gh | l) et ensuite il suffit de vérifier que [l(lj)^gh]²=1). Reste à voir que ces trois points sont bien deux à deux distincts.

gh et lj. Ces deux points sont distincts tout simplement parce que j est incidente à lj et pas à gh.

gh et (lj)^gh. Comme gh et lj sont différents par application de la biejction gh, on peut dire que (gh)^gh et (lj)^gh sont différents et donc que gh est différent de (lj)^gh. 

lj et (lj)^gh. On a que (lj)^gh = l^gh j^gh = l(j)^gh car l^gh = l. Donc si il y avait égalité entre lj et (lj)^gh, on aurait aussi j = j^gh. Ce qui signfiei que soit gh | j soit que j = gh. Le premier cas est exclus dans l'axiome 5, le second aussi comme vu au début de cette étape 3.

Ainsi ces trois points sont bien à deux distincts : nous avons trouvés trois point sur la perpendiculaire à j issue de gh dans les droites de l'axiome 5. Ceci prouve quae, dans l'axiomatique de Bachmann, toute droite a au moins trois points. Bachmann a donné un exemple de plan fini mimal remplissant ses axiometes : ses droites ont effectivement trois points. Il a 9 points et 1é droites ... et c'est un plan euclidien. Il est décrit à ces pages (en CabriJava)