Complément à l'axiome 3

Th 6 : Si P est incident à trois droites a, b, et c, et si on note d = abc, alors P et incident à d.

P est incident à d ssi (abcP = Pabc) et (abc différent de P)

La première assertion abcP = Pabc est vraie car P étant incident à chaque droite, P commute avec chacune d'elle : Pa = aP, Pb = bP et Pc = cP. La commutativité de P et du produit abc en découle.

Montrons la seconde assertion par l'absurde. Supposons que abc = P, alors ab = Pc et comme P | c, Pc est d'ordre 2 et donc a | b.
Par le théorème 1, come a, b | P et a | b, on a ab = P. Donc Pc = P soit c = 1,ce qui est absurde.

Complément à l'axiome 4

Th 7 : Si a, b, c sont trois droites orthogonales à g et si on note d = abc, alors d est orthogonale à g

d est orthogonales à g ssi (d | g) et (d est différente de g)

Comme ci-dessus la première assertion vient de la commuativité de a avec chacune des droites a, b, et c : elle est donc commutative avec le produit.

Montrons la seconde assertion également par l'absurde : si d = g, on aurait a, b, c | abc, et donc a | b, b | c, c | a et donc, d'après le théorème 2, abc = 1, soir d = 1 ce qui est absurde puisque d est une droite.