Th 1 : Soient deux droites distinctes a et b, telles que P | a, b et a | b alors P = ab et réciproquement.

Sens direct

ab est un point Q tel que Q | a, b car aQ = b d'ordre 2 et Qb = a d'ordre 2.

On a donc P, Q | a, b et a différent de b. Donc par l'axiome 2, il en résulte P = Q.

Sens réciproque

Si P = ab, alors a | b et aP = b est d'ordre 2 donc P | a et de même Pb = a d'ordre 2 d'où P | b.

Th 2 : Soient a, b, c trois droites. Alors abc = 1 ssi (a | b et a | c et b | c)

Le sens direct a déjà été vu dans la présentation des axiomes - à la partie incidence. Réciproquement, si les droites sont deux à deux orthogonales, c'est-à-dire (ab)² = (ac)² = (cb)² = 1 alors (abc)² = 1. Soit abc = 1 soit abc est différent de 1. On veut montrer la première alternative.

Plaçons dans le second cas pour montrer une contradiction. Notons C =ab, c'est un point car a et b sont orthogonales et de plus C n'est pas le pôle de c - ou encore C n'est pas égal à c) car abc est ici supposé différent de 1. abc étant involutive, on a ab | c et donc C I c (car C n'est pas égal à c). Par ailleurs C = ab | b donc C est aussi incident à b.

Nous sommes donc dans la situation où C est incidente à b et à c, avec b et c orthogonales. D'aprés le théorème 1, C = bc. Autrement dit ab = bc, et donc a = c, ce qui est contradictoire avec le fait que les droites a et c sont orthogonales : a | c.