La symétrie orthogonale dans les trois modèles géométrie hyperbolique

Les deux modèles de Poincaré sont basés sur l'inversion. La symétrie orthogonale un point par rapport à une droite est son inverse euclidien par rapport au cercle support de la droite (avec le passage à l'infini qu'est la symétrie orthogonale si le cercle a son centre à l'infini).

Le modèle de Beltrami est un modèle projectif. La symétrie par rapport à une droite d est l'homologie harmonique de base la droite d et de centre le pôle ded par rapport au cercle horizon. Cette homologie harmonique vérifie bien la propriété du pliage: l'image d'un demi-plan est l'autre demi-plan, et l'image de sa frontière (idéale) est bien la frontière de l'image.

Exemple d'utilisation des symétries orthogonales dans le disque de Poincaré

Etant données trois droites en faisceau, on s'intéresse à construire le triangle pour lequel ces troisdroites sont les médiatrices du triangle. L'exercice est intéressant en géométrie hyperbolique car les droites en faisceau peuvent être soit concourantes soit avoir une perpendiclualire commune, soit encore être paralléles. 

 La figure ci-dessus est lourde en objet, à cause des étapes successives, les autres sont placées dans d'autres pages.