Aperçu sur les polygones réguliers

Un polygone régulier est - comme dans le cas euclidien - un polygone dont les côtés sont égaux et les angles entre deux côtés consécutifs aussi. Un tel polygone est inscriptible dans un cercle. La différence fondamentale avec le cas euclidien est que, si l'angle au centre est déterminé, l'angle entre deux côtés consécutif n'est pas fixé à priori, ce qui ouvre la possibilités à une infinité de pavages réguliers avec toute forme de polygones régulier, ce qui n'est pas le cas dans la structire euclidienne..

Exemple d'un octogone - Propriété

Etant donnés un cercle hyperbolique de centre O et un point A de ce cercle. Si on sait effectuer une rotation de centre O d'angle Pi/4 du point A - ce qui est facile puisque le modèle est conforme, on peut, par de simples inversions par rapport aux côtés construits puisque ce sont les isométries du modèle, construire ainsi facilement des polygones réguliers : 

Applications aux pavages réguliers

La réalisation de pavages est plus complexe, puisqu'il faut construire "la bonne" taille du cercle pour que les angles soient ceux cherchés. Le détail de ces constructions n'est pas encore rédigé (cela viendra), mais on peut déjà consulter le résultat à cette page qui dirige sur une dizaine de telles réalisations dont certaines de génération 2.