Présentation succinte

Trois droites sont dites en faisceau quand la composée des trois symétries associées est une symétrie orthogonale. Dans l'axiomatique de Bachmann, deux axiomes demandent que

- quand trois droites ont un point commun, elles sont en faisceau (dit alors "à centre").
- quand trois droites ont une perpendiculaire commune, elle sont en faisceau (dit alors "à axe")

La géométrie hyperbolique présente cet intérêt de connaître ces deux types de faisceau et aussi un troisième, appelé "sans support" par Bachmann, qui correspond aux droites parallèles de Lobatchevsky.

L'existence des trois types de droites (sécantes, ayant une perpendiculaire commune ou "asymptotes" pour reprendre sa terminologie) avait bien été vue par Saccheri dès 1733, dans son extraordinaire exploration de "l'hypothèse de l'angle aigu", et il a étudié leurs propriétés. Saccheri a ainsi montré qu'étant donné un segment [AB], il existe un angle BAX (qui sera l'angle de parallèlisme de Lobachevsky) vérifiant : 1 - (AX) ne rencontre pas la perpendiculaire (BC) à (AB) en B. 2 - Toute oblique (AY) comprise dans l'angle BAX rencontre la perpendiculaire (BC). 3 - Toute oblique (AY) faisant un angle aigu plus grand que BAX avec (AB) a une perpendiculaire commune avec (BC). C'est à ce stade de son exposé que Saccheri s'est convaincu lui-même d'une contradiction en argumentant que les asymptotes (AX) et (BC) devraient avoir en leur point commun à l'infini - les futurs points idéaux de la géométrie absolue - une perpendiculaire commune, ce qui ne se peut.

Retour sur les médiatrices et l'équidistance

Nous avons déjà vu - à propos de l'orthogonalité - la question des médiatrices d'un triangle : elles sont en faisceau. Nous avons vu aussi - à une page sur les symétries et dans l'exemple du du modèle de Klein-Beltrami - la notion d'équidistance dans les géométries non euclidiennes. Voyons maintenant le lien entre l'équidistance etles faisceaux à axes. Le fait que cet exemple soit donné dans le cas des médiatrices d'un triangle n'est qu'un support d'illustration, la propriété sur l'équidistance est une propriété générale des faisceaux à axes en géométrie hyperbolique.