L'orthogonalité en géométrie hyperbolique

La notion ne pose pas les mêmes difficultés qu'en géométrie elliptique. Dans le cas hyperbolique, par un point il passe toujours une et une seule droite orthogonale à une droite donnée. Deux droites orthogonales à une même droite sont toujours non sécantes.

Comme nous allons l'illustrer ci-dessous, deux droites non sécantes - et non parallèles au sens de Lobachevsky - ont toujours une et une seule perpendiculaire commune. Toutes les propriétés hyperboliques qui sont illustrées plus bas sont bien entendu indépendantes du modèle. Voici deux constructions spécifiques à la géométrie hyperbolique et une troisième "absolue".

Existence de la perpendiculaire commune (demi-plan de Poincaré)

Médiatrice et cercle circonscrit (disque de Klein-Beltrami)

Dans le modèle du disque de Klein-Beltrami, les cercle hyperboliques sont des ellipses. Il va en être de même des horicycles : en géométrie hyperbolique, il existe un objet géométrique qui n'a pas d'équivalent euclidien, c'est l'horicycle qui correpondrait, dans le modèle euclidien à un cercle dont le centre est à l'infini et passant par un point (fini) donné.Par deux points A et B, il passe deux horicycles (les ellipses euclidiennes ci-contre). Les points idéaux de ces horicycles sont les points idéaux de la médiatrice de A et B .

Une propriété métrique des perpendiculaires et hauteurs (disque de Poincaré)