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Toutefois, beaucoup de résultats sur l'isogonalité en géométrie euclidienne ne se retrouvent pas en géométrie hyperbolique. Par exemple des couples "célébres" de points isogonaux ne le sont plus hyperboliquement, comme le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H, ou encore les points de Gergonne et de Nagel.
De même certaines propriétés des couples isogonaux n'existent plus. On pourra par exemple vérifier que les projections de M et M' sur les côtés du triangle ne sont plus six points cocycliques comme en géométrie euclidienne. Il serait intéressant d'approfondir les propriétés absolues de l'isogonalité.
Rappelons qu'en géométrie euclidienne deux points isogonaux sont foyers d'une conique tritangente aux côtés d'un triangle ... d'où un intérêt certain pour cette notion ;-)
On s'intérese à la construction d'un triangle ayant trois horocycles exinscrits. Alors ce triangle a une propriété remarquable, déjà mentionnée dans abraJava à cette page pour le modèle du disque de Poincaré. Illustrons là dans le modèle de Klein-Beltrami et donnons en une preuve.
Preuve
1 - Le triangle est équilatéral
Le fait que le triangle ABC soit équilatéral est assez naturel si on pense que MNP ayant ses côtés infini est idéalement équilatéral - il a aussi ses trois angles hyperboliques nuls. Plus concrètement, le résultat est assez immédiat du fait que les bissectrices intérieures sont axes de symétrie. Ainsi dans la symétrie d'axe (MI), les droites (MN) et (PI) ont pour images (MP) et (NI) et donc l'image de B est A. Ainsi le triangle est isocèle en C. De même pour les autres sommets.
2 - Le côté est une constante
En effet, si I n'est pas au centre O de l'horizon, par symétrie orthogonale d'axe la médiatrice de [OI], on ramène le problème à un triangle idéal M'N'P'. Le cercle de centre le centre de l'horizon est un cercle euclidien, et ainsi M'N'P' est un triangle dont les centres euclidiens du cercle circonscrit et inscrit sont confondus : c'est alors un triangle euclidien équilatéral. On peut faire des calculs dans un triangle équilatéral de la géométrie euclidienne.
Complément
D'une manière générale, le lieu des points équidistants d'une droite, dans le modèle de Klein-Beltrami est une ellipse bitangente à l'horizon en les points idéaux de cette droite, privée de ces deux points idéaux.
4.a. Les bissectrices | 4.c.
Exemples d'applications | 4.d. La
construction de Malfati
4.e. Mesure des angles et construction
d'angles particuliers
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