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Le problème de Malfati (1803) consiste à construire trois cercles intérieurs à un triangle, tangents entre eux et aux côtés du triangle. À l'époque on croyait avoir trouvé les trois plus grandes colonnes pouvant être découpées dans un prisme de marbre, mais en fait on s'est vite aperçu (1830) que ce n'est pas nécessairement la solution maximale. Plus tard, Goldberg a même montré, en 1967, que ce n'est jamais la solution optimale à ce problème initial.
La construction de Malfati repose sur les bissectrices intérieures d'un triangle et les symétries orthogonales : rien que des considérations de géométrie absolue. On peut donc la réaliser, telle quel, en géométrie hyperbolique.
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Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC. On construit les cercles inscrits aux triangles ABI, CBI et CAI. Les droites (AI), (BI) et (CI), sont des tangentes communes aux cercles pris deux à deux. Par construction des cercles elles sont concourantes en I. Remarque : pour la suite, on n'a pas besoin des cercles, mais seulement des centres de ces cercles, on les a laissé pour l'esthétique. |
Les symétriques de ces tangentes communes par rapport à la droite des centres des cercles concernés donnent les autres tangentes communes des cercles pris deux à deux. Elles sont elles aussi concourantes (propriété des symétries orthogonales), ci dessous en Q.
La tangente commune aux cercles sans contact avec (AB) coupe (AB) en M. On définit de même les points N et P.
Alors les quadrilatères AMQP, BNQM et CPQN sont des quadrilatères circonscriptibles, c'est-à-dire qu'ils admettent chacun un cercle inscrit : ce sont les cercles solutions.
Malfa3KB.fig
(46 Ko) et Malfa4KB.fig
(nettoyée)
Il existe un "second point" de Ajima : il est à l'intersection de trois autres droites passant par A', B', C' et les centres des cercles exinscrits à ABC correspondants, mais dans ce modèle hyperbolique, la figure est assez lourde ...
Voir la construction dans le modèle de Poincaré (en CabriJava).
4.a. Bissectrices intérieures |
4.b. Cercles exinscrits | 4.c.
Exemples d'applications
4.e. Mesure des angles et construction
d'angles particuliers
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