Cabri II comprenant un traceur de coniques et l'outil intersection, il est naturel de s'intéresser aux constructions réalisables à la règle au compas et au traceur de coniques. La question n'est évidemment pas nouvelle : on s'est intéressé à l'extraction de racines cubiques avec les coniques trois siècles avant JC (Menechme, - 350). La trissection de l'angle avec les coniques date de Pappus (III° siècle), et la construction des racines d'un polynôme de degré 3 ou 4 en utilisant les coniques date de Descartes. Mais puisque nous disposons d'un traceur de conique, il est intéressant d'effectuer concrètement ces constructions.

D'autre part, reprenant la démarche de Gauss sur la constructibilité des polygônes réguliers à la règle et au compas, agrémentée - éventuellement - d'une once de théorie de Galois, il est "assez facile" de caractériser les polygones réguliers constructibles à la règle au compas et au traceur de coniques, ce qui est l'occasion de nouvelles constructions intéressantes.

Par ailleurs, Cabri construisant les coniques par 5 points, on s'intéressera, dans les développements proposés, à mettre en évidence des coniques dont les 5 points constituants sont faciles à construire, ce qui est une autre question intéressante à développer.

Le développement de cette partie Panoplie du constructible est à l'origine une proposition de Pierre Delezoïde, professeur de Spéciale bien connu des "amateurs" des ouvrages de ce niveau édités chez Dunod. Cela a clairement nécessité quelques efforts au webmestre d'abraCadaBRI, mais quel enrichissement pour le site abraCAdaBRI !!! Cette "Panoplie" utilise(ra) aussi des réflexions, arguments, constructions, et recherches bibliographiques sur ce thème provenant de deux membres de l'équipe de développement de Cabri, Eric Bainville et Bernard Geneves, en attendant d'autres contributeurs ...

abraCAdaBRI étant assez nettement orienté vers les constructions Cabri - on s'en sera aperçu - et le Web ne se prêtant pas tellement actuellement à l'écriture mathématique, au moins pour les constructions lourdes, le détail des calculs proposés par ces auteurs se trouvera dans des fichiers à télécharger.

Rappel de quelques définitions

Droite et Cercle : ils sont définis par deux points distincts. En particulier le "cercle-point" n'existe pas. Il n'existe d'ailleurs pas non plus dans Cabri II. Le cercle-point a existé dans la version 2.1 sur Mac de Cabri I.

Conique : on entend par là de vraies coniques - ou plus exactement des coniques propres, c'est-à-dire une courbe algébrique de degré 2 définie génériquement par 5 points dont 3 ne sont pas alignés : on ne tient pas compte ici des coniques impropres comme les réunion de deux droites. Pour des raisons évidentes de continuité, les auteurs de Cabri se sont attachés à ce que les coniques de Cabri existent dans les cas impropres (ie 3 points alignés pour ce qui concerne la définition par 5 points). Chacun a pu produire des constructions dans lesquelles une hyperbole se transforme continuement en ses deux asymptotes, ou une ellipse en deux droites parallèles. Dans ce cas Cabri renvoie le message d'engagement direct "cette conique", en sachant sagement ne pas se prononcer sur sa nature ... y a des Cabris futés ...

Conique propre	Ci contre une ellipse dégénérant en deux droites parallèles.   Ci dessous une hyperbole dégénérant en deux droites sécantes.	Conique impropre en plaçant un troisième point sur objet de la droite
Conique propre	Alignement de points "à vue", la précision de Cabri fait que l'on a une conique propre	Conique impropre en plaçant un troisième point sur objet de la droite

Intersection : Dans Cabri, et donc dans ce qui nous occupe ici, l'intersection est à prendre au sens d'Euclide, et non pas au sens ensembliste : deux droites confondues n'ont pas d'intersection, de même pour deux cercles de même centre et de même rayon. C'est évident, mais il convient de le rappeler quand on parle de construtibilité.

Règle : dans la suite, la règle est toujours contenue dans les constructions. On dira C-constructible (C comme Compas) pour dire constructible à la règle et au compas. De même on dira C₂- construtible pour "construtible au traceur de conique, pour dire qu'il s'agit d'une construction à la règle au compas et "à la conique". Cet abus de langage est autorisé, pour C-constructible du moins, depuis le théorème de Mohr (1672) ou de Mascheroni (1797) qui dit que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

Question probablement naïve : Y-a-t-il une version "Mohr-Mascheroni" de la construtibilité C₂ : les constructions "règles - compas - coniques" sont elles des constructions "aux coniques seules" ? ou même "à un type de conique seulement" ?

 

C - construtibilité : À partir d'un ensemble E de points donnés du plan (par défaut deux points qui sont identifiés à leurs affixes : l'origine et l'unité dans le plan complexe), l'ensemble C(E) est l'ensemble des points contenant E et obtenus par un nombre fini d'intersections de droites et de cercles définis à partir des points de C(E). La définition est récursive, mais chacun comprend, et c'est plus simple qu'une définition itérative "à la Carrega".

Exemple de théorème classique relatif à la C-constructibilité [Carrega p 42 entre autres]
L'angle t est trissectable [à la règle et au compas] ssi le polynôme 4x³ - 3X - cos t est réductible dans Q(cos t)[X].

 

C₂ - construtibilité : idem en ajoutant des coniques : à partir d'un ensemble E de points donnés du plan, l'ensemble C₂(E) est l'ensemble des points contenant E et obtenus par un nombre fini d'intersections de droites, de cercles et de coniques définis à partir des points de C₂(E).

Nombres construtibles : ce sont les nombres dont les coordonnées, dans le corps des complexes, sont construtibles (ensemble C ou C₂) à partir de deux points considérés comme étant respectivement d'affixe 0 et 1.

Théorèmes de caractérisation - Polygones réguliers constructibles.

Thèorème de Wantzel (1832) : L'ensemble des nombres C-construtible est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.

Théorème de Videla (1997) : L'ensemble des nombres C₂-construtible est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique.

Conséquences pour les polygones réguliers constructibles

Théorème de Gauss : un polygone régulier à n côtés est C-constructible ssi n est de la forme 2^rp₁p₂...p_k où les p_i sont des nombres premier de Fermat distincts.

Contient les cas r = 0 et k= 0. Les nombres premiers de Fermat sont de la forme 2^p+1, et alors p est une puissance de 2. On ne connait que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour p = 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴.

Théorème de Videla : un polygone régulier à n côtés est C₂-constructible ssi n est de la forme 2^r3^sp₁p₂...p_k où les p_i sont des nombres premiers distincts de la forme 2^p3^q+1

Le cas (s = 0 et q = 0 dans les p_i) redonne le cas particulier du théorème de Gauss. Tous les cas particuliers sont possibles (on a r „ 0, s „ 0, k „ 0 et, pour les nombres premiers, p „ 0, q „ 0).

Ces théorèmes se montrent - traditionnellement pour la C-construtibilité - par des arguments de théorie de Galois. Carrega propose une preuve du théorème de Gauss en construisant "à la main" une tour d'extension quadratique qui ne nécessite pas d'entrer dans les extensions normales, séparables, les existences de cloture, etc ... mais on fait tout "à la main" en particulier il faut construire les générateurs des sous-groupes intermédiaires, associées aux sous-corps de la tour, ce que la théorie des extensions galoisiennes évite bien entendu. C'est le devoir proposé ci dessous par le webmestre, utilisable en préparation au CAPES ou à l'Agrégation interne, disponible en différents formats (utilisables aussi bien sur Mac que sur PC, respectivement : postscript, "PDF", Word 6/95, Word 97/98)

 

Les polygones C-constructibles (source Carrega)
Le devoir	DevGauss.ps	DevGauss.pdf	DevGauss.doc	DevGauss
Une correction	CorGauss.ps	CorGauss.pdf	CorGauss.DOC	CorGauss

 

Une autre question naïve du webmestre

On connaît cette propriété des constructions "règle et compas" qu'elles sont aussi constructibles au compas jetable (théorème dû à Poncelet), c'est-à-dire qu'elles sont - théoriquement - toutes constructibles si un seul cercle est tracé dans le plan. Cela avait été l'objet d'un concours interne lors que la deuxième université d'été sur Cabri, en juillet 96, avec une construction proposée par Roger Cuppens dans le Quotidien de l'UE.

Puisque l'on sait transformer un cercle en n'importe quelle conique, la question vient naturellement de savoir ce qu'il en est des constructions "au traceur de coniques" : sont-elles, elles aussi constructibles "à la conique". Si oui, il serait intéressant de proposer quelques constructions significatives de base à la conique jetable, pour reprendre l'expression de Roger Cuppens. Si non, peut-on caractériser les constructions réalisables à la conique jetable, ou au moins, par exemple (ce n'est qu'une idée) à la conique à centre jetable ? Y-a-t-il une différence entre les constructions à l'ellipse jetable et à l'hyperbole jetable ? Avis aux amateurs. Merci de faire l'effort de rendre les contributions accessibles : si la question théorique est intéressante, abraCAdaBRI est un lieu orienté sur les constructions réalisables avec Cabri ...

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