[1.b - Construction de l'heptagone régulier]

Cette première page de la Panoplie est structurée ainsi :

1. La construction proposée par l'auteur (agrémentée "d'abraCAdaBRI remarques" sur l'art de l'intersection dans Cabri)

2. L'écriture (mathématiquement approximative) de cette preuve en ligne, pour une approche des idées générales.

Pour une impression de qualité, on choisira l'article original de Pierre Delezoïde, déchargeable au format Postscript Hepta.ps (104 Ko) ou au format PDF Hepta.pdf (80 Ko), ou au format TeX (en cours).
Pour le .pdf, penser à faire "enregistrer sur disque" si vous ne voulez pas lancer le plug in ....

 

Trisection d'un angle par intersection cercle - hyperbole équilatère

Pour la construction de l'hyperbole ci-dessous, on peut utiliser la macro HypEq1.mac qui construit une hyperbole équilatère à partir de son centre, une asymptote et un point. Cette macro a été construite à la page Point de Frégier de la Conférence de Michel Guillerault.

Construction : On considère un point M, d'affixe u de module 1, donc sur le cercle de centre O de rayon 1 (point I). Soit J le point d'abscisse -1 (avec Cabri, prendre l'intersection du cercle et de la droite (OI) : le point J sera connu par Cabri comme étant un point du cercle.

Questions de stabilité : on sait que, dans la version actuelle de Cabri (09/98) l'ordre des intersections avec les coniques ne sont pas stable par manipulation directe. Cette construction reste correcte pour tout M restant avec un argument de 0 à Pi. Sinon, le triangle passe par le point J. Il est possible que la version Windows, plus récente, soit plus stable sur ce point.

Toutefois, on peut raisonnablement espérer que la séparation des racines soit facilement accessible ici par l'intersection de l'hyperbole équilatère et d'un arc de cercle, en effet, comme le fait remarquer Pierre Delezoïde dans son article, on s'intéresse alors à la racine comprise entre -Pi/3 et Pi/3. Hélas, il semble bien que ce soit un leurre graphique car le point d'intersection construit n'est pas le même quand M décrit le cercle : entrons une nouvelle fois en détail dans les subtilités de l'intersection avec Cabri, avec la version actuelle (1.1.5 au 09/98).

Intersection de deux objets / intersection en manipulation directe

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Corps de l'article : 1 - Outils analytiques

Préliminaires

Si u et v sont des complexes, le produit scalaire, noté (u|v), est la partie réelle de .

On muni le plan affine eucliden orienté d'un repère orthonormé direct, par rapport auquel les coordonnées sont notées x et y et l'affixe z. En écrivant , on voit que l'équation générale d'une conique s'écrit :

(1) avec a et b complexes, r et s réels, et (a, r) différent de (0, 0).

Autrement dit, en utilisant le produit scalaire :

Intersection avec le cercle unité

On suppose a différent de 0, sinon la conique est un cercle ou l'ensemble vide. Le faisceau linéaire engendré par cette conique et le cercle C de centre O de rayon 1 contient la conique d'équation complexe :

Cette conique est une hyperbole équilatère; en effet, l'équation asymptotique est 2(a | z²) = 0, les directions asymptotiques sont dirigées par les racines carrées du nombre complexe ia, et les axes de symétrie par celles de a. L'équation de l'hyperbole équilatère s'écrit aussi : , soit encore :

Sous cette forme il est clair que le point d'affixe est centre de symétrie de l'hyperbole, donc son centre. En reportant la condition dans l'équation complexe de la conique (1), on trouve que le complexe z est affixe d'un point d'intersection du cercle C et de la conique si et seulement si les conditions :

(S)

sont vérifiées. La première condition s'écrit P(z) = 0 où P est le polynôme

Si z est un zéro du polynôme, alors aussi. On voit donc que l'application involutive induit sur les zéros de P une permutation involutive s.

Supponsons que les zéros de P soient distincts; si s est l'identité, il y a 4 solution réelles au système (S); si s est une transposition, il y a deux solutions réelles qui correspondent aux deux points fixes; si s est un produit de deux transpositions, il n'y a pas de solutions réelles.

Corps de l'article : 2 - Application à la trisection d'un angle

Le principe

Soit u n nombre complexe de module 1. On notera C(u) le corps des complexes constructibles à la règle et au compas à partir de 0, 1 et u. On suppose que u n'est pas trisecable, c'est-à-dire que l'un quelconque des racines cubiques de u n'est pas dans C(u) (la constructibilité de l'un implique celle des autres comme illustré ci-dessus avec la figure Trisect2). Autrement dit, le polynôme X³-u, de degré 3, est irréductible dans C(u)[X] et c'est donc le polynôme minimal dans C(u)[X] de l'une quelconque des racines cubiques de u.

On cherche une conique passant par 5 points d'affixes appartenant à C(u) dont l'une des intersection avec le cercle C - cercle trigonométrique - soit une racine cubique de u. On dispose des équations de la forme (1) de telles coniques, où a, b, r, et s sont des éléments de C(u) - ceci s'obtenant par par résolution d'un système linéaire.

Par hypothèse l'un des zéro de P, élément de C(u)[X], est une racine cubique de u, donc P est multiple du ploynôme minimal X³-u. Ainsi les trois racines cubiques de u sont des zéros de P, le quatrième zéro étant nécessairement un nombre complexe de module 1 (le produit des zéros, est de module 1).

Géométriquement, cela signifie que l'intersection du cercle C et de la conique est nécessairement composée des trois racines cubiques de u, qui forment un triangle équilatéral, et d'un quatrième point.

En remplaçant X³ par u dans le polynôme P, on obtient le reste de P dans la division euclidienne par X³-u; la CNS cherchée est que ce reste est nul, ce qui donne :

Comme u est donné de module 1, on ne trouve que deux conditions : r + s = 0 et

Les équations des coniques cherchées sont donc de la forme :

On a alors :

On voit donc que la quatrième intersection du cercle C et de la conique est le point s'affixe

Choix d'une telle conique

Parmi les coniques possibles, on choisit les hyperboles équilatères, obtenues pour r = 0; ces hyperboles dépendent d'un paramètre a que l'on peut choisir de module 1. L'équation 'une telle hyperbole est alors :

Ces hyperboles passent par l'origine, leur centre est le point d'affixe

Le quatrième point d'intersection avec le cercle C est le point d'affixe g = , il s'agit du symétrique de l'origine par rapport au centre de l'hyperbole. Ce point est aussi le symétrique du point d'affixe u dans la symétrie autour de la droite dirigée par a puisque ug = a². Enfin les axes de symétries de l'hyperbole sont les droites passant par le centre et dirigé par les racines carrées de a. Tout ceci suffit à construire l'hyperbole. On remarquera toutefois que la tangente à l'origine est la droite d'équation que l'on peut assez facilement tracer.

Choix spécifique à une Cabri-construction

Mais vu l'impossiblité pour Cabri de choisir parmi les 4 intersections du cercle et de l'hyperbole, on est amené à faire en sorte qu'on puisse effectivement séparer les 4 solutions, ou seulement isoler la racine cherché, celle d'affixe e^it/3 si u = e^it pour t dans l'intervalle ]-Pi, Pi]. Pour les trois racines cubiques e u il n'y a pas de problème, celle cherchée est toujours sur l'arc de cercle compris entre -Pi/3 et Pi/3; il suffit que l'on soit sûr que le quatrième point ne soit pas sur cet arc pour isoler cette solution par intersection arc / hyperbole.

Une manière simple et symétrique par rapport à la variation de u est de choisir, parmi toutes les hyperboles équilatères possibles celle dont le quatrième point d'intersection avec le cercle est le point d'affixe -1. Le centre de l'hyperbole est alors le point d'affixe -1/2. On vérifie que si la droite d est la bissectrice intérieure de l'angle IOM, les asymptotes de l'hyperbole sont alors les bissectrices des droites (OI) et d, ce qui permet sa construction.   Note : ici la droite d est la tangnete à l'hyperbole en O, ce qui donnerait une autre approche possible pour la construction de l'hyperbole.

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[1.b - Application de ces calculs à une construction de l'heptagone régulier]

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