II.3 - Orthogonalité

On a vu dans la partie I que par un point il passe une et une seule droite orthogonale à une droite donnée.Le modèle de Poincaré étant conforme, l'orthogonalité se définit très simplement : une droite est orthogonale à une autre si elle est portée par un cercle orthogonal au cercle support de la droite - ou du segment - hyperbolique. On s'attache simplement, dans cette page, à réaliser une construction robuste, en particulier qui accepte que le point d'où on prend la perpendiculaire soit sur la droite.

Construction de la perpendiculaire hyperbolique

Le principe

La construction effective

Perp1.fig (voir commentaires)

En fait, il est clair que cette construction ne convient pas quand le point C est sur la droite (AB) ou le segment [AB] hyperbolique - ce qui sera fréquent comme utilisation. En effet, dans ce cas C et C" sont confondus, et la seconde médiatrice n'existe pas. De même pour la première médiatrice si on veut conserver le cas limite où C serait sur la frontière du disque de Poincaré. On remplace donc la seconde médiatrice par la perpendiculaire au milieu : soit K le milieu de [CintC"], il suffit de tracer la perpendiculaire - euclidienne - à [IK] en K. Idem pour l'autre médiatrice. On obtient ainsi J le centre de la perpendiculaire hyperbolique, arc de cercle passant par C et les intersection avec l'horizon.Aprés avoir caché le point Cint et les extrémités, on peut transformer la figure en macros. Elles fonctionnent sur les segments et les droites en renvoie aussi le centre J. PerpHyp1.mac (Perpendiculaire hyperbolique) est générale, elle autorise au point C d'être sur l'horizon. Cela signifie que C n'est pas un point constituant de la perpendiculaire. PerpHyp2.mac (Perpendiculaire hyp - 2) sera utilisée dans les cas où l'on peut avoir besoin que C soit constituant de l'arc - et alors C ne peut être sur l'horizon.

Segment "Pied de la perpendiculaire"   IIl est en effet souvent utile de construire ce segment quand il existe. Cette macro évite de construire la perpendiculaire, puis le segment, ce qui économise 40% des objets intermédiaires : sur de futures figures lourdes, ce sera appréciable. Perp1b.fig ou SPiedPH.mac

Avec un poind idéal

Fonctionnement de la macro sur un point de la droite, à l'extrémité d'un segment

 

Spécificités de l'orthogonalité hyperbolique

Parallélisme et orthogonalité commune

Le modèle hyperbolique vérifie le théorème du parallèlisme de deux droites orthogonales, consèquence des axiomes d'incidence : ci dessous par un point C on mène une perpendiculaire à une droite (AB) et par un point D une perpendiculaire à cette dernière droite. Alors la première et la dernière droites sont parallèles. On voit ci-dessous une illustration quand D se déplace dans le plan hyperbolique, avec le cas où D passe sur (AB), alors les deux droites deviennent confondues.

On notera que pour la droite (AB) et D fixés, en déplaçant C on illustre que par un point, il passe une infinité de droites sans point commun avec (AB) mais ayant une perpendiculaire commune avec elle, ce qui n'est pas euclidien.

  Perp2.fig

La question réciproque de la construction de l'unique perpendiculaire commune à deux droites est abordée à la page suivante (II.4).

Parallélisme sans orthogonalité commune

On voit bien, dans l'illustration ci-dessus que, par D, il passe deux droites sans point commun et sans perpendiculaire commune avec (AB), ce qui, là non plus, n'est pas particulièrement euclidien. Ce sont les droites hyperboliques qui passent par le point et dont les supports coupent le cercle horizon à l'un des deux points de contact avec le support de la droite (AB). Pour la construction, on peut prendre soin de travailler avec un point Mint sous M. C'est notre première utilisation effective de la macro Droite hyper Géné, d'une droite hyperbolique possédant un point à idéal. DPssPerp.fig

En attendant d'avoir plus d'outils sur l'orthogonalité, on peut déjà vérifier cette propriété de manière perceptive, c'est-à-dire en construisant simplement des droites orthogonales aux deux droites, et observer qu'elles ne coïncident pas.

Perp4.fig (PC) ou Perp4M.fig (Mac)

 

Triangle hyperbolique et orthocentre

Les hauteurs d'un triangle hyperbolique sont concourantes ou parallèles

  Ortho.fig

 

Règle d'intersection importante en géométrie hyperbolique avec Cabri

Principe : Pour faire l'intersection de deux arcs, il convient de TOUJOURS prendre l'intersection au pointeur "à la volée" c'est-à-dire en montrant l'intersection, et surtout pas en prenant l'item "intersection de deux objets" et en montrant les deux arcs.

Corollaire : Il ne faut pas lever d'ambiguïté (dans la version disponible en juin 98) car ceci, même si le pointeur est à une intersection, exécute l'algorithme d'intersection de deux objets, et non pas la prise à la volée, plus fine en terme de suivi continu de l'intersection. Par exemple ici, pour prendre l'intersection des trois hauteurs, il faudrait en cacher une, prendre l'intersection de deux, et montrer à nouveau la troisième.

 

Ultérieurement, nous observerons la position de l'orthocentre par rapport au triangle - le résustat est une adaptation au cas euclidien - et chercherons à déterminer, A et B étant donnés, le lieu des points C pour lesquels l'orthocentre de ABC existe. La page II.4. construit la perpendiculaire commune à deux parallèles et propose quelques applications dont une sur les hauteurs d'un triangle hyperbolique.   Ci-contre : hauteurs d'un triangle hyperbolique de trois points idéaux.

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