II.1 - Droites et segments hyperboliques

Soit M un point de l'horizon h. Et L le centre du cercle orthogonal à h en M et passant par A. On observe que le lieu de L est une droite, orthogonale à (OA). C'est immédiat à montrer n utilisant les lignes de niveau du rpogramme de lycée. En effet,, c'est l'ensemble des points L tels que LO² - LA² = R² où R est le rayon du cercle horizon.

Construction du point H de (OA) sur le lieu des centres. En notant I le milieu de [OA], on a, en mesure algébrique OA.IH = R² soit encore, si on note A' l'inverse de A par rapport à l'horizon (c'est-à-dire OA.OA' = R² ) H est tel que OA' = 2IH, c'est donc le milieu de [AA'] puisque I est celui de [OA].

Autrement dit, le lieu de L est la médiatrice de [AA'] où A' est l'inverse de A par rapport à l'horizon.

Etant donné un point B, en déplaçant M, on observe aussi qu'il n'existe qu'un seul cercle orthogonal à l'horizon passant par A et par B. Son centre est l'intersection des deux médiatrices de [AA'] et [BB'].

Remarque : comme les points A et B doivent être strictement intérieurs à l'horizon, ces deux médiatrices existent toujours.

Amélioration : les macros droite et segment hyperboliques allant être souvent utilisées, on se propose d'y adjoindre des critères d'appartenance au disque horizon. Pour cela, on utilise des arguments élémentaire de géométrie logique, ici un critère (pour les inverses) d'extériorité au disque : en première analyse, on peut observer que les points A et B sont à l'intérieur si et seulement si les segments [AA'] et [BB'] coupent le cercle horizon. On peut ainsi envisager de construire sous A - et B - un point qui n'existe que si A' est à l'extérieur par une existence conditionnelle.

Pour cela, étant donné un point A à l'intérieur de l'horizon et A' son inverse, on peut considérer la droite (HA') qui existe toujours pour Cabri, même quand A' est à l'infini. Cette droite coupe l'horizon en deux points U et V. On reprend alors des arguments classiques d'intériorité à un segment : A est à l'intérieur du disque si et seulement si la perpendiculaire à (HA') passant par A coupe le segment [UV]. On construit ainsi un point AInt sous A qui n'existe que si A est à l'intérieur du cercle, y compris au centre.

IntHoriz.mac ou MacIntH.fig

DrtHyp2.fig précisions sur la construction

Important : pour des utilisations ultérieures, on se souviendra que le premier point cliqué est un point constitutif de l'arc "droite hyperbolique", mais pas l'autre.

La droite hyperbolique (AB) est, sur cercle orthogonal à l'horizon passant par A et B, l'arc inclus dans l'horizon (sans les extrémités). Dans le cas où A et B sont alignés avec le centre de l'horizon, c'est de diamètre euclidien passant par A et B.

Il peut être utile, pour des constructions annexes, d'avoir le centre. La macro rend aussi le centre, que l'on peut cacher s'il ne sert pas.

DrtHyper.mac

Nom de la macro : Droite hyperbolique

En redéfinissant le point A comme étant le centre du cercle, on confirme la robustesse de la macro ... et celle de Cabri par la même occasion.

Dans la construction ci-dessus, A étant un point constituant de la droite, il ne peut être un point idéal car l'arc ne peut être défini par deux points identiques. Il faut donc adapter la construction.

DrtHyp2b.fig pour les détails de construction

DrtHypG.mac avec le nom de la macro : Droite hyper - Géné

On sait que la transitivité du parallèlisme - et donc la propriété d'équivalence de cette relation - est une caratéristique des structures affines (qui permet l'existence d'homothéties, donc de similitudes pour la structure euclidienne, et ainsi de triangles semblables à un triangle donné d'aires arbitrairement grandes). Tout ceci n'est pas vrai dans une géométrie non euclidienne. En particulier dans le cas hyperbolique où il existe des parallèles - intersection vide - on peut immédiatement observer que le parallèlisme n'est effectivement pas transitif dans le modèle hyperbolique de Poincaré :

(AB) // (CD) et (CD) // (EF) mais (AB) et (EF) sont sécantes.

DrtHyp3.fig

L'axiome de Pasch, on l'a vu, permet de définir la demi-droite d'origine A passant par B. Leur existence, dans un modèle axiomatique métrique permet de définir ensuite les segments hyperboliques.

Pour éviter les problèmes d'orientation, ici l'intersection avec l'horizon est construite à partir de l'arc demi-cercle d'extrémité A passant par B. Pour des questions de passage à l'infini (B sur l'horizon), le point B n'est pas constituant de l'arc.

Les demi-droites seront utilisées aussi avec les angles.

DrtHyp4.fig ou DemiDHyp.mac (avec son centre)

Pour réaliser le segment hyperbolique, il suffit de construire un point du cercle hyperbolique dont on est assuré qu'il sera toujours entre A et B sur l'arc souhaité.

On peut faire cela ainsi ; soit I le milieu de [AB]. La demi-droite d'originie le centre du cercle support de la droite hyperbolique passant par I coupe le cercle en J. Le segment hyperbolique [AB] est l'arc A, J, B.

Par construction la macro s'applique naturellement aux points idéaux.

DrtHyp5.fig ou SegHyper.mac (avec son centre)

Pour réaliser un triangle hyperbolique, il suffit d'ajouter un point - que l'on pensera à conditionner à l'intérieur du cercle - et d'appliquer la macro Segment Hyperbolique deux fois.

ci-contre triangle à trois points idéaux

TriHyper.fig ou la macro TriHyper.mac