Université d'été 96

Le point de vue de Cabri II
sur les coniques

Conférence de Michel Guillerault

Leibnitz - IMAG Grenoble
Cercle des géomètres disparus

 

Présentation

Dans Cabri II, les coniques des trois types (ellipses, paraboles, hyperboles) sont indifféremment construites à partir de cinq points et sont des objets géométriques à part entière, dont il est possible de déterminer les intersections avec d'autres objets ou les images dans des transformations simples. L'objectif principal de l'exposé est de tirer un certain nombre de conséquences du point de vue global adopté par le logiciel.

Après de brefs rappels de géométrie, l'exposé portera essentiellement sur les trois points suivants:

- Détermination des éléments principaux traditionnels (centre, diamètres, axes, foyers,...).

- Un exemple simple de transformations entre coniques et ses conséquences (exemple: détermination du cercle de courbure en un point donné d'une conique donnée).

- Les possibilités nouvelles de constructions offertes par Cabri II (exemple: détermination des normales à une conique issues d'un point donné).

 

"abra"- compte-rendu

Le temps réservé à la conférence ne permettait pas que soit abordé le détail des constructions comme abraCAdaBRI a choisi de le faire dans son compte rendu : plus de 80 copies d'écran, 70 figures et macros Cabri . Il n'est pas sûr que l'atmosphère générale de ces pages reflète toute le charme mathématique extraordinaire dans lequel l'assemblée a été plongée, surfant pendant deux heures, de figures en figures, sur cette merveilleuse culture du Cercle des géomètres disparus. Nous avons conserver l'aspect monstratif de la conférence : il y a assez peu de preuves dans ces pages.

On trouvera en complément, une autre contribution de Michel Guillerault qui n'a pas été présentée lors de cette conférence, mais sollicitée par abraCAdaBRI : la construction des paraboles définies par 4 points.


1 - Préliminaires de Géométrie
Sortie de l'agence de Voyage "Guillerault" avec un ticket aller simple en main.
Rappelle des notions gravitant autour de la division harmonique pour introduire la polaire d'un point par rapport à une conique. Premières macros.

2 - Généralités sur le coniques
Vous arrivez sur les quais. Si le paysage vous reste familier, l'atmosphère contient déjà un petit quelque chose ....
Centre d'une conique, diamètres conjugués, tangentes. Asymptotes à l'hyperbole par passage à l'infini dans Cabri II. Pôle d'une droite par rapport à une conique.

3 - Coniques comme transformées du cercle
Allez vous rentrer dans le fabuleux paquebot du Cercle des géomètres disparus ?
L'homologie harmonique et autres trésors réservés aux amateurs d'Art ou aux esthètes ... mais quel voyage !!!

4 - Point de Frégier et applications
Un rythme de croisière s'installe .... les moteurs ronronnent doucement ... vous êtes déjà un habitué ...
Définition et propriétés du point de Frégier. Cas de l'hyperbole équilatère. Rayon de courbure, cercle osculateur.

5 - Applications du point de Frégier
Le voyage continue, en haute mer. C'est toujours aussi merveilleux ... et puis vous avez maintenant un bon coup d'oeil de marin.
Axes d'une conique, axe focal d'une conique à centre.

6 - Diverses déterminations des foyers
Un sentiment de fin de voyage , l'impression d'avoir fini une boucle vous prend soudainement ...
Foyers, directrices, mais aussi considérations sur la parabole ...

7 - Constructions spécifiques à Cabri II : Tangentes communes à deux coniques
... mais ce n'était qu'une escale avant le feu d'artifice final, "spécial Cabri II" que nous a réservé Michel Guillerault en guise de billet retour.
Décidément quelle agence de voyage !!!
Conique définie tangentiellement, transformation par polaires réciproques, surcharge des macros aux tangentes communes à un cercle et une conique

8 - Constructions spécifiques à Cabri II : Normales à une conique issues d'un point
Toutes les croisières ont une fin, même si la mer reste encore à parcourir. Puisse ce voyage nous inciter à d'autres explorations sur l'océan des possibilités de Cabri II... Hyperbole d'Appolonius d'une conique. Construction du centre de l'hyperbole dans le cas des coniques à centre.

 

... Pleinement comblé du voyage organisé par le Cercle, nous sommes impatients d'en faire de nouveaux, dans des contrées aussi merveilleuses ... avec la même agence de voyages ???

 

Complément : Paraboles passant par 4 points

 

 

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