Université
d'été 96
Le point de vue de Cabri II
sur les coniques
Conférence de Michel
Guillerault
Leibnitz - IMAG Grenoble
Cercle des géomètres disparus
Présentation
Dans Cabri II, les coniques des trois types
(ellipses, paraboles, hyperboles) sont indifféremment
construites à partir de cinq points et sont des objets
géométriques à part entière, dont il est
possible de déterminer les intersections avec d'autres objets
ou les images dans des transformations simples. L'objectif principal
de l'exposé est de tirer un certain nombre de
conséquences du point de vue global adopté par le
logiciel.
Après de brefs rappels de
géométrie, l'exposé portera essentiellement sur
les trois points suivants:
- Détermination des
éléments principaux traditionnels (centre,
diamètres, axes, foyers,...).
- Un exemple simple de transformations
entre coniques et ses conséquences (exemple:
détermination du cercle de courbure en un point
donné d'une conique donnée).
- Les possibilités nouvelles de
constructions offertes par Cabri II (exemple: détermination
des normales à une conique issues d'un point
donné).
"abra"- compte-rendu
Le temps réservé à la
conférence ne permettait pas que soit abordé le
détail des constructions comme abraCAdaBRI a choisi de le
faire dans son compte rendu : plus de 80 copies d'écran, 70
figures et macros Cabri . Il n'est pas sûr que
l'atmosphère générale de ces pages
reflète toute le charme mathématique extraordinaire
dans lequel l'assemblée a été plongée,
surfant pendant deux heures, de figures en figures, sur cette
merveilleuse culture du Cercle des
géomètres disparus. Nous
avons conserver l'aspect monstratif de la conférence : il y a
assez peu de preuves dans ces pages.
On trouvera en complément, une autre
contribution de Michel Guillerault qui n'a pas été
présentée lors de cette conférence, mais
sollicitée par abraCAdaBRI : la construction des paraboles
définies par 4 points.
1 - Préliminaires de
Géométrie
Sortie de l'agence de Voyage
"Guillerault" avec un ticket aller simple en main.
Rappelle des notions gravitant autour de
la division harmonique pour introduire la polaire d'un point par
rapport à une conique. Premières macros.
2 - Généralités
sur le coniques
Vous arrivez sur les quais. Si le paysage vous
reste familier, l'atmosphère contient déjà un
petit quelque chose ....
Centre d'une conique, diamètres
conjugués, tangentes. Asymptotes à l'hyperbole par
passage à l'infini dans Cabri II. Pôle d'une droite par
rapport à une conique.
3 - Coniques comme transformées
du cercle
Allez vous rentrer dans le fabuleux paquebot du
Cercle des géomètres disparus ?
L'homologie harmonique et autres
trésors réservés aux amateurs d'Art ou aux
esthètes ... mais quel voyage !!!
4 - Point de Frégier et
applications
Un rythme de croisière s'installe ....
les moteurs ronronnent doucement ... vous êtes
déjà un habitué ...
Définition et
propriétés du point de Frégier. Cas de
l'hyperbole équilatère. Rayon de courbure, cercle
osculateur.
5 - Applications du point de
Frégier
Le voyage continue, en haute mer. C'est
toujours aussi merveilleux ... et puis vous avez maintenant un bon
coup d'oeil de marin.
Axes d'une conique, axe focal d'une
conique à centre.
6 - Diverses déterminations des
foyers
Un sentiment de fin de voyage , l'impression
d'avoir fini une boucle vous prend soudainement ...
Foyers, directrices, mais aussi
considérations sur la parabole ...
7 - Constructions
spécifiques à Cabri II : Tangentes communes à
deux coniques
... mais ce n'était qu'une escale avant
le feu d'artifice final, "spécial Cabri II" que nous a
réservé Michel Guillerault en guise de billet
retour.
Décidément quelle agence de voyage !!!
Conique définie tangentiellement,
transformation par polaires réciproques, surcharge des macros
aux tangentes communes à un cercle et une conique
8 - Constructions spécifiques
à Cabri II : Normales à une conique issues d'un
point
Toutes les croisières ont une fin,
même si la mer reste encore à parcourir. Puisse ce
voyage nous inciter à d'autres explorations sur l'océan
des possibilités de Cabri II...
Hyperbole d'Appolonius d'une conique. Construction du centre de
l'hyperbole dans le cas des coniques à centre.
... Pleinement comblé du voyage
organisé par le Cercle, nous sommes impatients d'en faire de
nouveaux, dans des contrées aussi merveilleuses ... avec la
même agence de voyages ???
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