Université d'été 96

Extraits de la conférence de Michel Guillerault

1 - Préliminaires de Géométrie

Birapport de 4 points

A, B, C sont trois points d'une droite (d), k est un réel, M un point du plan n'appartenant pas à la droite (d). La droite (MC) coupe la parrallèle à (AM) passant par B en U. La droite (MV) coupe (d) en un point D. Ce point est indépendant de M. On dit que le birapport (A, B, C, D) est égal à k. On a : BiRapp.fig.

Division harmonique

Si k=-1, on dit que D est conjugué harmonique de C par rapport à A et B. Autrement dit, on a : Le cas particulier k=-1 est important de part la symétrie qu'il introduit. Ainsi D est également conjugué harmonique de C par rapport à B et A, mais aussi C l'est de D par rapport à A et B (ou B et A). De même A et B sont conjugués harmoniques l'un de l'autre par rapport à C et D. DivH.fig.

On dit aussi que C et D divisent harmoniquement le segment [AB]. On a alors la relation de moyenne harmonique :

Exemples de couples de points en division harmonique :
- Deux sommets d'un triangle et les pieds des bissectrices intérieure et extérieure issues du troisième sommet.
- Les centres d'homothétie de deux cercles et les centres des cercles.

Le cas du quadrilatère complet Dans cette configuration, (A,B) et (C, D) sont en division harmonique. Etant donnés trois points alignés A, B, et C, la configuration du quadrilatère complet donne un procédé de construction d'un quatrième point D tel que C et D divisent harmoniquement le segment [AB].

Polaire d'un point par rapport à deux droites

Etant données (d) et (d') deux droites sécantes en S et P un point distinct de S, on mêne deux droites issues de P cooupant (d) et (d') respectivement en A, B et C, D. Soit le point M d'intersection de (AD) et (BC). Le lieu de M quand les droites (AB) et (CD) varient est une droite passant par S, applelé polaire de P par rapport à (d) et (d'). D'après le paragraphe précédent, P et Q sont conjuguès harmoniques par rapport à A et B; de même P et R le sont par rapport à C et D. PolDrte.fig.

Polaire d'un point par rapport à une conique.

Comme pour deux droites, on définit la polaire d'un point par rapport à une conique de la même façon. On a encore les couples (P, Q) et (A,B) en division harmonique, de même que (P, R) et (C, D). Réciproquement, pour toute droite (d) du plan, il existe un point P appelé pôle de (d) par rapport à la conique tel que (d) soit la polaire de P par rapport à cette conique. Les points de d'intersection entre la polaire de P et la conique, quand ils existent, sont les points de contact des tangentes à cette conique issues de P, ce qui donne un (autre) procédé de construction des tangentes à une conique. PolConik.fig. Manipulation possible : Observer la position de la polaire par rapport à la conique quand on déplace P.

On peut aussi charger une macro Polaire ou encore une macro Tangente issue d'un point extérieur

La manipulation précédente, sur les ellipses par exemple, amène à définir l'intérieur et l'extérieur d'une conique.
P est dit extérieur à une conique si sa polaire coupe la conique, et il est dit intérieur si sa polaire ne coupe pas la conique.

Cas de l'hyperbole L'extérieur d'une hyperbole est donc, parmi les deux parties qu'elle délimite, celle qui contient son centre. On observera les propriétés suivantes : Si un point P extérieur à une hyperbole est dans la région comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes, la polaire coupe l'hyperbole en deux points de la même branche. Si P est extérieur dans la partie délimitée par les deux asymptotes, la polaire coupe l'hyperbole en deux points appartenant à des branches différentes. Enfin si P est sur une asymptote, la polaire est parallèle à l'autre asymptote. AsymHyp.fig La construction des asymptotes est proposée à la prochaine page.

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