Université d'été 96

Extraits de la conférence de Michel Guillerault

8 - Constructions spécifiques à Cabri II
Normales à une conique issues d'un point

Présentation

Dans la dernière partie de sa conférence sur les coniques avec Cabri II, Michel Guillerault nous propose de construire les normales à une conique issue d'un point. Il s'agit, là encore d'utiliser l'intersection de deux coniques. On est naturellement amené à traiter séparément les coniques à centre de la parabole.

Hyperbole d'Appolonius d'un point pour une conique à centre

Pour réaliser la figure, on a besoin de

La macro Centre d'une conique.

Soit une conique à centre (C), de centre C et un point P du plan. À partir d'un point M de la conique, on trace la tangente en M à (C), puis la perpendiculaire à cette tangente passant par P. Cette droite coupe (CM) en Q.

Le lieu de Q quand M décrit la conique est une hyperbole équilatère passant par P et C appelée hyperbole d'Appolonius associée à (C) et à P. HypAppo1.fig Note : dans la figure proposée au téléchargement, le point M est sur objet de la conique (C), mais l'hyperbole d'Appolonius associée à P a été construite comme objet conique, à partir de 5 points : il n'y a que trois points à construire puisqu'elle passe par P et C. Sur les figures suivantes, il peut être intéressant de rajouter l'hyperbole d'Appolonius du point P. La macro Hyperbole d'Appolonius (fichier HypAppo.mac).

Quelques observations sur l'hyperbole d'Appolonius

Tout d'abord Q est en P pour M sur le diamètre (CP), et que Q est en C pour un point M tel que (CP) soit une direction de normale à la conique (M en MC sur la figure). Pour M aux sommets de la conique, les droites (CM) et la perpendiculaire au diamètre conjugués sont parallèles, le point Q est rejeté à l'infini. Cela signifie que les asymptotes de l'hyperbole sont parallèles aux axes de la conique : l'hyperbole d'Appolonius est donc équilatère. HypAppo2.fig

Dans le cas de l'ellipse, si on construit un second point R de l'hyperbole d'Appolonius à partir d'un point N sur le diamètre conjugué de (CM), P étant sur deux hauteurs du triangle CQR, il en est l'orthocentre, et ainsi, quand M varie, la droite (QR) reste perpendiculaire à la direction fixe (CP). HypAppo3.fig

Normales (à une conique à centre) issue d'un point

 

Par construction même de l'hyperbole d'Appolonius, ses éventuelles intersections avec la conique sont les pieds des normales menées de P à la conique. Il peut y avoir jusqu'à 4 normales à une conique issues d'un même point P, et il y en a toujours au moins deux. HypAppo4.fig On remarquera par exemple que, dans le cas d'une ellipse, P et C appartiennent à la même branche d'hyperbole alors qu'ils sont sur des branches différentes dans le cas de l'hyperbole.

Si on souhaite faire la figure suivante, on peut : Charger une macro Cercle circonscrit par 3 points

Théorème de Joachimasthal : Le cercle circonscrit à trois pieds A, B, C des normales issues de P, passe par le point D' diamétralement opposé au pied D de la quatrième normale. Théorème de Laguerre : Ce cercle passe aussi par la projection orthogonale D" du centre de la conique C sur la tangente à à cette conique passant par D'. Enfin ce cercle recoupe l'hyperbole d'Appolonius en un point E qui est sur la droite (CD"). HypAppo5.fig

Centre de l'hyperbole d'Appolonius

Le centre pourrait se construire par la macro du même nom, nous nous proposons ici de regarder des constructions spécifiques du centre de l'hyperbole d'Appolonius.

Pour réaliser les figures suivantes, il est utile de :

Charger les macros Axes d'une conique et Normale en un point d'une conique

	Cas de l'ellipse On considère le rectangle circonscrit à l'ellipse passant par ses sommets. Les droites issues de P perpendiculaires aux diagonales de ce rectangle recoupent l'autre diagonale aux points U et V. Le centre O de l'hyperbole d'Appolonius associée à P est le milieu de [UV]. HypAppo6.fig
	Si on considère un point M de l'ellipse et que P soit redéfini comme point sur objet de la normale à l'ellipse en M, alors on peut observer que : Le lieu des centres de l'hyperbole d'Appolonius des points d'une normale à l'ellipse est une droite. HypAppo7.fig
	Cas de l'hyperbole Dans ce cas, l'hyperbole d'Appolonius associée à un point P passe, en plus du centre C de l'hyperbole, par les porjections orthogonales U et V de P sur les asymptotes à l'hyperbole. Le centre de l'hyperbole d'Appolonius est le milieu de [UV]. HypAppo8.fig
	On peut observer la même propriété que dans le cas de l'ellipse : Soit un point M de l'hyperbole et P redéfini comme point sur objet de la normale à l'hyperbole en M, alors : Le lieu des centres de l'hyperbole d'Appolonius des points d'une normale à l'hyperbole est une droite. HypAppo9.fig

Cas de la parabole

Pour effectuer les figures suivantes, il est pratique de

Lancer une figure Parabole par homologie harmoniqueet Charger les macros Axe et Tangente à une parabole

dans l'illustration ci-contre O et (d) sont des éléments de l'homologie harmonique

Dans ce cas le centre est à l'infini. Q est donc l'intersection de la perpendiculaire en P à la tangente en M à la parabole et de la paralléle à l'axe passant par M - qui fait office de droite (CM) le centre étant à l'inifini dans la direction de l'axe. Le lieu de Q est encore une hyperbole équilatère. Elle est asymptote à l'axe de la parabole. HypAppP1.fig En remarquant que si deux points M et N de la parabole sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, ils donnent des points Q et R symétriques sur l'hyperbole d'Appolonius, on peut construire le centre de cette hyperbole. Avec une asymptote et sachant qu'elle passe par P, on peut utiliser une macro Hyperbole Equilatère déjà rencontrée (dans la page Point de Frégier) par construire l'hyperbole d'Appolonius d'une parabole. La macro Hyperbole d'Appolonius d'une parabole (fichier HypAppPr.mac)

L'hyperbole d'Appolonius et la parabole peuvent avoir 3 points d'intersection, ce qui donne au plus trois normales à la parabole issues de P. Le cercle circonscrit à ces trois points recoupe la parabole en son sommet qui est, comme dans le cas du théorème de Joachimsthal des coniques à centre, le point "diamétralement opposé" du point à l'infini dans la direction de l'axe de la parabole. HypAppP2.fig

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