Université d'été 96

Extraits de la conférence de Michel Guillerault

3 - Conique comme transformée de cercle
par homologie harmonique

La symétrie oblique

Comme transformation affine, la symétrie oblique transforme le centre d'un cercle en le centre de l'ellipse, conserve le contact. C'est une application involutive. En chargeant la figure, on peut vérifier avec Cabri qu'elle conserve les aires (car de déterminant -1). On peut aussi vérifier expérimentalement que les axes de l'image d'un cercle ont des directions fixes. En plaçant le centre du cercle à l'intersection de la base et de la directrice de la symétrie, on trouve expérimentalement ces directions fixes. SymOblik.fig.

L'homologie harmonique

 

On généralise la symétrie oblique en remplaçant le point à l'infini correspondant à la direction par un point O, à distance finie. La droite (OM) coupe l'axe (d) en H, M', l'image de M, est le point tel que M et M' soient conjugués harmoniques de O et H. Cette transformation s'appelle l'homologie harmonique de centre O et d'axe (d). Homolo.fig.

Utilisation de la figure

Elle peut être utilisée pour faire rapidement une macro Homologie très générale : on commencera par l'homologique d'un point, puis on surchargera la macro pour qu'elle fournisse aussi l'homologue d'une conique. Pour la suite, il est utile de surcharger à nouveau par l'homogue d'un cercle.
Pour cela, à étant donné un cercle, construire 5 points (à partir des éléments de l'homologie), tracer une ellipse circulaire sur le cercle, et faire son homologue par la partie de la macro déjà réalisée. Achever en ajoutant le cercle comme objet initial de la macro. Pour utiliser cette macro dans tous les développements proposés, on devra choisir les 5 points tels que la conique image soit encore construite dans les cas particuliers où le centre de l'homologie est sur le cercle, et le cas où c'est le centre du cercle. C'est par exemple un exercice intéressant en formation à Cabri.

Charger une macro HomoloH.mac qui remplit toutes ces conditions.

Propriétés de l'homologie harmonique

Elle est involutive et conserve le contact. Les points de l'axe (d) sont invariants et les droites passant par le centre O sont globalement invariantes. Elle conserve le birapport de 4 points alignes (donc la conjugaison harmonique) et la polarité.

Soit A un point. Une conique est globalement invariante par l'homologie de centre A et d'axe la polaire de A par rapport à cette conique.

Aspect projectif

Si l'axe de l'homologie harmonique est la droite de l'infini, on retrouve la symétrie centrale de centre O, si par contre le centre est rejeté à l'infini, l'homologie est une symétrie oblique. L'homologie harmonique est donc la généralisation projective de ces deux transformations.

Nature de la transformée

L'image d'un cercle par une homologie harmonique peut être une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Pour déterminer la nature de la conique, on considère l'homothétique de l'axe (d) dans l'homothétie de centre O - centre de l'homologie - et de rapport 1/2, notée "delta" en bleu clair sur les illustrations suivantes.

	Règle pratique   Si l'homothétique de (d) coupe le cercle en deux points, la transformée est une hyperbole. NatTrfHE.fig pour les cas de l'hyperbole et de l'ellipse.
	Si l'homothétique de (d) est tangente au cercle, la transformée est une parabole. NatTrfP.fig pour le cas spécifique de la parabole.
	Si l'homothétique de (d) ne coupe pas le cercle, la transformée est une ellipse. Justification de cette dernière règle Elle provient du fait qu'en géométrie projective, une conique coupe la droite de l'infini en 2 points (hyperbole) 1 point (parabole) ou aucun (ellipse). On peut donc regarder ce qu'il se passe pour la conique de départ - ici le cercle, mais cela pourrait être une conique - avec la transformée, dans l'homologie harmonique, de la droite de l'infini (la droite "delta" indiquée plus haut ). On se ramène ainsi à des considérations affines. On notera également que si le cercle passe par le centre de l'homologie, sa transformée passe aussi par ce point, en étant tangente au cercle.

Les asymptotes de l'hyperbole

 

Dans le cas de l'hyperbole, soit L une intersection du cercle de base - éventuellement de la conique de base comme illustré sur la figure ci-contre - avec l'homothétique de l'axe. Notons L' l'intersection de la tangente au cercle en L et l'axe (d) de l'homologie. Alors la parallèle à (OL) passant par L' est une asymptote de l'hyperbole . On construit de même l'autre asymptote avec l'autre point d'intersection. PropHyp.fig

Un premier cas particulier

Il s'agit du cas où le centre du cercle dont on construit l'homologue est aussi centre de l'homologie.Le théorème important dans ce cas particulier est le suivant :

Le centre de l'homologie est un (le) foyer de la conique et l'homothétique de l'axe (d), dans l'homothétie hO,1/2 est la directrice associée. On peut en faire une vérification expérimentale en utilisant un résultat classique sur les tangentes aux coniques (ou une caractéristique des directrices et foyers) : Si on considère la tangente à une conique en un point M et T son intersection avec la directrice associée au foyer O, alors l'angle en O du triangle MOT est droit. CasPart1.fig.

Charger les macros Homologie harmonique et Tangente en un point (d'une conique à centre) pour faire la figure.

Illustration dans le cas de la parabole   CasPart2.fig. Charger les macros Homologie harmonique et Tangente à une parabole pour faire la figure dans ce cas particulier.

 

 
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