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Géry Huvent nous propose, par une approche résoluement algébrique, une synthèse de nombreuses propriétés des hyperboles équilatères sur la base de l'étude des triangles autopodaires. Son approche est assez nouvelle dans abraCAdaBRI - qui a souvent favorisé des regards plus géométriques - mais son efficacité est indéniable, et il est temps de "mettre de l'algèbre" dans les pages d'abraCAdaBRI. Les résultats explorés ici sont des conséquences d'un théorème de Poncelet que l'on pourrait aussi aborder géométriquement avec les involutions. Nous verrons - entre autres - que le dossier d'abraCAdaBRI sur le théorème de Carnot pour les coniques est un cas particulier des résultats sur les triangles autopodaires.
abraCAdaBRI ne reprendra pas en ligne les preuves de Géry Huvent : ce serait fastidieux aussi bien pour le webmestre que pour le lecteur. On consultera plutôt l'article qu'il a rédigé à ce propos. Dans la suite, nous nous proposons au contraire, tout en présentant les notions abordées, de mettre à disposition les figures et macros Cabri associées à cet article. Plus modeste, mais déjà, trés intéressant comme vous allez le voir.
Et puis très joli aussi ;-) Bonne nouvelle ballade dans les coniques ... pour - entre autres - retrouver de manière surprenante des résultats déjà connus
Les articles de Géry Huvent (original en TeX transcodé en PDF)
L'article complet TRautopol.PDF : 12 pages - 464 Ko - avec 11 illustrations couleurs
Une présentation des points cycliques PTcycliques.PDF : 2 pages - 164 Ko
Que ce résumé ne fasse pas fuir le reste de l'article, on peut apprécier les figures sans rentrer dans la démarche retenue pour les preuves. Cette notion n'est utiliée que pour quelques démonstrations (clés certes), elle n'est pas omniprésente dans l'exposé.
Tout ceci est aussi détaillé dans les cours d'algèbre linéaires type "préparation à l'agrégation" comme ceux de Tauvel, de Guérin, ou encore le tome 4 d'Arnaudiés Fraysse.
On commence par complexifier l'espace vectoriel sous-jacent au plan affine dans lequel on travaille, cela permet de définir un conjugué. Les formes bilinéaires se prolongent naturellement, en particulier le produit scalaire standard.
Cela permet de définir une isotropie : un vecteur est isotrope si son carré scalaire est nul. Une droite est isotrope si elle est didigée par un vecteur isotrope, et on voit rapidement que cela signiei que son coefficient directeur est +i ou -i, dans un repère orthonormé, la propriété remaruqable étant que cela ne dépend pas du repère orthormal choisi. De plus par un point M, il passe toujours deux droites isotropes.
Puis on passe à la complétion projective du plan affine. Les points cycliques sont alors les points à l'infini des directions de deux droites isotropes.
En pratique les points cycliques I et J sont les deux points de la droite à l'infini qui admettent pour coordonnées homogènes les triplets (1, i, 0) et (1, -i, 0) ceci pour tout choix de repère orthonormé du plan affine initial.
On peut alors réinterpréter l'orthogonalité de la façon suivante : deux droites sont orthogonales ssi elles sont conjugués harmoniques par rapport aux droites isotropes menées en leur point d'intersection.
On montre alors que les coniques du complété projectif qui passent par les points cycliques sont les cercles du plan affine ou, éventuellement, la réunion d'une droite et de la droite de l'infini.
Enfin, la propriété qui assomme - utilisée dans les démonstrations de l'article de Géry Huvent : un foyer d'une conique est un point d'où on peut mener deux tangentes à la conique qui passent par les points cycliques.
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