1. Triangles autopolaires et théorème de Poncelet | 2. Applications à l'hyperbole équilatère
Dans cette page, les coniques sont supposées être non dégénérées.
Remarque : les figures de cette page sont réunies sur deux pages pour être manipulées dans le navigateur, avec CabriJava.
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Rappel du vocabulaire usuel On dita d'une conique qu'elle est inscrite à un triangle si elle est tangente à ces côtés, et qu'elle est circonscrite à un triangle si elle passe par ses sommets. Ci-contre l'ellipse verte est l'ellipse de Steiner inscrite à ABC, la rose est l'ellipse de Steiner circonscrite |
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Un exemple élémentaire : interprétation d'un résultat précédent
Par choix d'un repère projectif, les deux coniques C et C' sont représentées par des matrices symétriques inversibles A et B. Un changement de repère transforme ces matrices en des matrices congruentes, toutefois, les deux réels tr(BA-1) et tr(B-1A) sont invariants. Géry Huvent montre dans son article que ces deux invariants caractérisent les coniques harmonieusement inscrites ou circonscrites. Il montre ainsi que :
Première caractérisation :
Soient deux deux coniques C et C' représentées par les matrices A et B dans un repère. Alors C' est harmonieusement circonscrite à C ssi tr(BA-1) = 0.
Au passage, sa preuve permet de voir que s'il y a un triangle autopolaire, il y en a une infinité :
La Cabri-exploration est une remarque du webmestre d'abraCAdaBRI. Elle n'engage pas l'auteur de l'article ... au cas où ce serait faux ;-)
Cas de l'hyperbole équilatère et du cercle : en appliquant ce résultat algébrique au cas particulier du cercle et de l'hyperbole équilatère, on aboutit à la caractérisation suivante :
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Résultat qui pourrait se montrer géométriquement, fait remarquer l'auteur, en considérant le triangle de sommets le centre du cercle, et les deux points à l'infini de l'hyperbole. Ce triangle est autopolaire pour le cercle car les asymptotes sont orthogonales, et il est inscrit dans l'hyperbole ssi le centre du cercle est sur l'hyperbole.Où l'on retrouve l'orthocentre d'un triangle inscrit ...
Deux rappels pour retrouver un orthocentre ;-)
Hyperbole passant par 4 points orthocentriques
Soit PQR un triangle d'orthocentre H (différent des sommets). Construisons une hyperbole passant par P, Q, R et H. Soit C le cercle pour lequel PQR est autopolaire; il est réel ou imaginaire, mais son centre est H. Il existe alors un autre triangle autopolaire pour C : la polaire de H est la droite de l'infini, elle coupe l'hyperbole en deux points X et Y, les points à l'infini de l'hyperbole. D'une part ce triangle est autopolaire pour C mais de plus, puisque H est le centre de C, il est rectangle en C. Or les droite (HX) et (HY) sont les directions asymptotiques de l'hyperbole et donc l'hyperbole est équilatère. Nous retrouvons ainsi ce résultat bien classique :
Une hyperbole passant par 4 points orthocentrique est équilatère.Remarque : par ailleurs pour des questions de convexité, cela ne peut être ni une ellipse, ni une parabole ... donc une conique passant par 4 points orthocentrique est une hyperbole équilatère.
Seconde caractérisation :
Soient deux deux coniques C et C' représentées par les matrices A et B dans un repère. Alors C' est harmonieusement inscrite à C ssi tr(B-1A) = 0.
Les conséquences de cette seconde caractérisation - montrée matriciellement par Géry Huvent - ne seront pas développées pour elle-même, du fait qu'elle amène une équivalence entre les deux notions :
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Nous allons terminer en développant cette équivalence dans le cas des cercles et des hyperboles équilatères.
On a vu qu'une hyperbole équilatère est harmoniquement circonscrite à un cercle si et seulement si elle passe par le centre du cercle. On en déduit - de par les caractérisations précédentes - qu'un cercle est harmoniquement inscrit dans une hyperbole équilatère si et seulement si son centre est sur cette hyperbole.
CnkHa07.fig - Voir la figure en
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C'est en particulier le cas pour tout triangle PQR cévien d'un triangle inscrit ABC de l'hyperbole équilatère (dont le centre cévien est aussi sur l'hyperbole) puisque l'on sait qu'il est autopolaire pour l'hyperbole :
CnkHa08.fig - Voir la figure en
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Terminons par retrouver ainsi une propriété bien connue du triangle orthique d'un triangle :
CnkHa09.fig - Voir la figure en
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(avec l'animation)
Il faut bien s'arreter, et pourtant il y aurait encore tant et tant à dire ...
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