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1. Triangles autopolaires et théorème de Poncelet | 3. Coniques harmoniquement inscrites et circonscrites
Dans cette partie de l'article, nous utilisons un argument initial sur la base des points cycliques.
Le cas de l'hyperbole équilatère a ceci de particulier qu'elle dispose de fait d'un triangle autopolaire qui lui est spécifique : soit O son centre et I et J les points cycliques, alors le triangle OIJ est autoplaire pour l'hyperbole.
Remarque : les figures de cette page sont réunies sur deux pages pour être manipulées dans le navigateur, avec CabriJava.
On en déduit aussitôt que le cercle circonscrit à tout triangle (affine) autopolaire à l'hyperbole passe par le centre de l'hyperbole. L'argument est le même que pour la parabole : soit PQR un triangle autopolaire par rapport à l'hyperbole. Alors P, Q, R, O, I et J sont sur une même conique. Cette conique passant par les points cycliques I et J est un cercle, et donc les points P, Q, R et O sont cocycliques.
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Traitement de l'infini par défaut dans Cabri
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Reprenons la figure précédente A, B, C sur l'hyperbole et M sur l'hyperbole. Mais nous transformons cette fois la figure en construisant deux droites issues de A, elles coupent l'hyperbole en B et C. Ce changement de construction permet d'envoyer l'un des deux points - et les deux - à l'infini en prenant les droites issues de A parallèles aux asymptotes. Ici on envoie B à l'infini : les deux droites bleues verticales sont les droites (AB) et (BC). P, Q et R sont toujours à distance finie, le cercle cévien de M est toujours un cercle affine.
Pour effectuer le traitement à l'infini, il faut refaire la macro de tracé du cercle cévien et ne pas utiliser de médiatrice, mais une perpendiculaire passant par le milieu : la médiatrice disparaît à l'infini, pas la perpendiculaire en le milieu. La macro
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Envoyons maintenant de plus C à l'infini. Alors P est aussi à l'infini, alors que Q et R restent à distance finie. Le cercle circonscrit à PQR devient la droite euclidienne (RQ). Elle passe toujours par par le centre O de l'hyperbole.Figure spécifique pour décrire le phénomène
HEqPol05.fig (cette
propriété est vraie pour toute hyperbole)
Pour cette figure, on utilise à nouveau la macro
CrclCev2.mac (objets initiaux A,
B, C, M).
Contrairement à la figure précédente où le passage à l'infini se faisait manuellement (et donc on ne faisait que l'approcher), ici il est inscrit dans la figure. La macro se comporte très bien, et le cercle cévien recouvre exactement la droite (RQ).
Nous abordons ici la proposition duale du théorème de Poncelet à savoir que si deux triangles sont autopolaires, les six côtés sont tangents à une même conique. Puisque nous sommes dans un cas où le premier triangle autopolaire, le triangle OIJ, contient la droite de l'infini - la droite (IJ) - la conique tangente aux six côtés est nécessairement une parabole, comme tangente à la droite de l'infini.
De plus, O est un point d'où on mène deux tangentes qui passent par les points cycliques - les droites (OI) et (OJ) : c'est la définition de Plucker des foyers : la parabole est de foyer O. Ainsi, étant donnéun triangle autopolaire PQR par rapport à une hyperbole équilatère de centre O,la conique tritangente aux côtés du triangle et de foyer O est une parabole : on retrouve ainsi d'une autre façon que le cercle circonscrit à PQR passe par le centre de l'hyperbole.
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Cas d'un triangle cévien d'un triangle inscrit dans l'hyperbole équilatère
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Il existe un autre triangle autopolaire spécifique à l'hyperbole équilatére de centre O, c'est le triangle OXY où X et Y sont les points à l'infini des axes de l'hyperbole. Soit alors PQR un triangle autopolaire (affine), les six points O, P, Q, R et X, Y sont sur une même conique. Cette conique coupant la droite de l'infini en deux points est une hyperbole. De plus comme elle a des directions asymptotiques orthogonales, c'est une hyperbole équilatère.
Autrement dit, on a le résultat suivant :
HEqPol09.fig - Voir la figure en
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Ce qui donne, aussi, dans le cas d'un triangle cévien d'un triangle inscrit dans l'hyperbole équilatère
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