Triangles autopolaires et applications 3. Coniques harmoniquement inscrites ou circonstrictes - Partie 2

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 1. Triangle autopolaire | 2. Applications à l'hyperbole équilatère | 3. Coniques harmoniquement inscrites ou circoncrites

 3.a. Coniques harmoniquement ... - Partie 1

Source : article de Géry Huvent, rédigé à l'attention d'abraCAdaBRI dont ces pages dynamiques sont un résumé. On se reportera à la version statique d'abraCAdaBRI pour les détails techniques et d'éventuelles définitions supplémentaires, plus particulièrement à cette page.pour cette dernière partie de l'article.

La troisième partie de cet article se poursuit par une caractérisation d'une conique harmonieusement inscrite dans une autre. L'intérêt est alors de dégager une équivalence entre les deux notions comme illustré ci-dessous

Théorème d'équivalence

Applications au cercle et à l'hyperbole équilatère

On a vu qu'une hyperbole équilatère est harmoniquement circonscrite à un cercle si et seulement si elle passe par le centre du cercle. On en déduit - de par les caractérisations précédentes - qu'un cercle est harmoniquement inscrit dans une hyperbole équilatère si et seulement si son centre est sur cette hyperbole.

C'est en particulier le cas pour tout triangle PQR cévien d'un triangle inscrit ABC de l'hyperbole équilatère (dont le centre cévien est aussi sur l'hyperbole) puisque l'on sait qu'il est autopolaire pour l'hyperbole :

Terminons par retrouver ainsi une propriété bien connue du triangle orthique d'un triangle :

Source : article de Géry Huvent