Cocyclicité et distance
L'inégalité de Ptolémée
Dominique Tournès - IUFM de La Réunion

[1 - Résultat historique de Ptolémée] [2 - Le théorème général] [3 - Un premier problème de distance]
[4 - Application : Le problème de Fermat] [5 - Application : La loi de la réfraction]
[6 - Application : Cercles inscrits et partitions d'un polygone inscrit]

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En Terminale scientifique, on étudie une condition de cocyclicité de quatre points en termes d'angles (de vecteurs ou de droites) mais curieusement on ignore souvent qu'il existe aussi une condition en termes de distances. Cette condition est due à l'astronome Claude Ptolémée, qui vécut à Alexandrie au IIème siècle de notre ère (85 - 165). C'est pour les besoins de ses calculs astronomiques qu'il fut amené à calculer une table de cordes de 30' en 30' (de nos jours, on utiliserait plutôt une table de sinus), et au passage à découvrir un certain nombres de propriétés géométriques du cercle.

Le but de cet article est de mieux faire connaître ce beau résultat et de montrer comment on peut l'utiliser pour résoudre quelques problèmes classiques que l'on trouve (traités avec d'autres outils) dans les manuels de Première S ou Terminale S. J'essaierai de rester toujours dans le cadre du programme de Terminale S, de sorte que ce qui va suivre puisse constituer la matière première d'une séance de travaux pratiques ou d'un devoir à la maison pour cette classe.

 

 

Remarques de "la Rédaction" :

  • La page 6 est un ajout du webmestre d'abraCAdaBRI qui ne rentre peut-être pas dans le cadre des programmes de lycée, mais aprés tout, pour un devoir à la maison, pourquoi pas.
  • Cet article peut inspirer les étudiants préparant le CAPES pour l'épreuve sur dossier.

 

Sources utilisées :

DEDRON et ITARD, Mathématiques et mathématiciens, Magnard.

COXETER et GREITZER, Redécouvrons la géométrie, Dunod.

PEDOE, A course of geometry for colleges and universities, Cambridge.

NIVEN, Maxima and minima without Calculus, The mathematical association of America.

 

 

[1 - Résultat historique de Ptolémée] [2 - Le théorème général] [3 - Un premier problème de distance]
[4 - Application : Le problème de Fermat] [5 - Application : La loi de la réfraction]
[6 - Application : Cercles inscrits et partitions d'un polygone inscrit]

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