Exercices utilisant la cocyclicité

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Miquel01.fig

Le théorème des 5 cercles de Miquel

À partir d'un cercle C, on construit 5 cercles Ci,dont les centres sont sur C, et tel que Ci et Ci+1 soient aussi sécants en un point de C, ainsi que C5 et C1 : ainsi, ci-contre C1 est de centre A passant par I, C2 de centre B passant aussi par I, A, B et I étant sur G, etc. On notera dans la suite un cercle par son centre : CA ... etc.

(JL) recoupe CA et CC en U et V. (LM) recoupe CB et CD en X et Y.

Théorème de Miquel :

Alors (PN) passe par V, (RP) par U et Y. De même si (PN) coupe CE en W alors (RJ) passe par X et W : on a ainsi un petangone (irrégulier) UVWXY.

 

Preuve proposée sous forme d'exercice (3 questions).

 

Lien entre bissectrice d'un angle et tangente au cercle circonnscrit en le sommet.

 

BissTgtE.fig pour expérimenter sur la figure ou BissTgtS.fig pour une preuve du résultat

 

Remarque : cette propriété sera utilisée pour une preuve du théorème de Feuerbach par inversion (non encore en ligne).

 

Problème de construction utilisant les arcs capables

Dans le cadre du thème "triangles contraints" (dossier d'oral pour le CAPES), voici deux exercices, l'un élémentaire, l'autre moins, sur ce thème, le premier servant simplement d'introduction au second. Dans les deux cas, l'arc capable se construit à partir d'un angle égal à celui de A "sous [BC]" et par la tangente : on obtient ainsi le centre O du cercle support de l'arc capable contenant A.

 

Exercice 1 (application immédiate des résultats)

Construire un triangle ABC connaissant l'angle en A le côté a = BC et la médiane ma issue de A.

 

On se donne deux points B et C. Il y a deux solutions, le point A ci-contre et son symétrique par rapport à la médiatrice de B et C.

 

TRACap01.fig

 

Exercice 2 (sur la base d'une utilisation du précédent)

Construire un triangle ABC connaissant l'angle en A le côté a = BC et la somme b+c des deux autres côtés (b = AC et c = AB).

 

Analyse rapide : Supposons la figure faite (avec l'arc capable contenant le point A, à partir de [BC]). Si on prolonge sur [BA) le segment [BA] en D tel que BD = b + c, nécessairement DAC est isocèle, d'angle en D et C la moitié de l'angle A. Donc D est à l'intersection du cercle de centre B de rayon b+c et de l'arc capable d'angle moitié de A pasant par B et C, dont le centre et le point I intersection de la médiatrice de [BC] et de l'arc capable (déjà tracé) contenant le point A.

 

TRACap02.fig

 

(Source Julius Peterson - Edition Gabay)

 

Triangle des centres des cercles exinscrits

1 - Que représente le cercle circonscrit au triangle ABC pour le triangle des centres des cercles exinscrits IAIBIC ?

2 - En déduire que les milieux A", B", C" de I, centre du cercle inscrit et de chaque centre de cercle exinscrit appartient au cercle circonscrit à ABC.

3 - Justifier que ces trois points sont aussi sur les médiatrices des côtés, ainsi A" est sur la médiatrice de [BC], etc.

4 - Montrer que le triangle des points de contact du cercle inscrit DEF est homothétique au triangle des centres des cercles exinscrits. Préciser le rapport en fonction des rayons du cercle circonscrit et inscrit.

 

ExoCiex1.fig

 

(Source : La géométrie du triangle - Sortais - Hermann)

 

Autres thèmes dans abraCAdaBRI utilisant la cocyclicité

 

Les étoiles de Viricel

(dossier "Théorème de Morley")

 

On appelle "étoile" la donnée d'un point M et de trois droites d0, d1, d2 passant par M telles que les angles orientés de droites (d0, d1) et (d1, d2) fassent chacune un angle de Pi/3. M sera appelé le centre de l'étoile.

 

Alors les 9 points d'intersection de deux étoiles forment trois triangles équilatéraux ayant leux côtés paralléles et leurs centres alignés sur la médiatrice des centres des étoiles.

 

Etoile01.fig (qui correspond à une illustration plus complète que ci-contre)

 

Preuve (par cocyclicité) et autres propriétés à la page Les étoiles de Viricel

 
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