Le mouvement tractionnel en géométrie

Dominique Tournès - IUFM de La Réunion et équipe REHSEIS-CNRS

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La courbe tractrice, découverte par Leibniz en 1670, fut le point de départ d'une importante lignée de recherches. En effet, en adjoignant le mouvement tractionnel aux procédés traditionnels de la géométrie, on peut construire de manière exacte de nombreuses courbes transcendantes, notamment les courbes logarithmiques, et intégrer de nouvelles équations différentielles.

Dépassant les restrictions imposées par Descartes, ces découvertes ont contribué, au 18e siècle, à légitimer l'emploi des courbes transcendantes et ont permis, au siècle suivant, la conception et la réalisation d'intégraphes.

En s'appuyant sur des simulations du mouvement tractionnel réalisées avec Cabri-géomètre, ce dossier montre comment réaliser la construction des courbes usuelles et l'intégration des équations différentielles de Riccati de manière graphique.

 

En faisant tourner la tractrice autour de son asymptote, on engendre une surface de révolution appelée "pseudosphère". En 1868, Beltrami a découvert que la géométrie locale de la pseudosphère était identique à la géométrie hyperbolique de Lobachevski.

Pour le webmestre abraCAdaBRI - passionné de G.N.E - ce thème de la tractrice fut alors l'occasion, grâce à la disponibilité de l'auteur de ce dossier, de ses capacités d'analyse ... et sa détermination à comprendre les choses ... de réaliser un vieux rêve qu'il croyait inaccessible : faire des figures de géométrie plane sur la pseudosphère. En attendant une future rédaction plus technique sur ce sujet, vous trouverez ici quelques pages, et une dizaine de figures de géométrie pseudosphèrique.

 

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