Le mouvement tractionnel en géométrie

4 - Tractrice et pseudo-sphère

4.1. Un peu d'histoire

Beltrami se propose de reprendre cette idée en la généralisant et se pose la question de savoir quelles sont les surfaces pour lesquelles les géodésiques - lignes de plus courte distance - soient décrites de manère linéaire (on dit parfois "par des droites"). Plus précisément, si on note X et Y les coordonnées curvilignes d'une surface ayant une représentation dans le plan euclidien (x, y) avec x = u(X, Y) et y = v(X, Y), les géodésiques de la surface seront représentées dans le plan par des droites ax + by + c = 0 ssi la courbe représentée en coordonnée curviligne par au(X, Y) + bv(X, Y) + c = 0 est bien une géodésique de cette surface.

En 1865, il publie un premier résultat : le problème n'a pas de solution générale, il n'est possible que dans des cas particuliers :

"...les seules surfaces succeptibles d'être représentées sur un plan, en sorte qu'à chaque point de l'une corresponde un point de l'autre et qu'à chaque ligne géodésique corresponde une ligne droite, sont celles dont la courbure est partout constante (positive, négative ou nulle)."

D'où l'intérêt pour les surfaces pseudo-sphèriques - celles dont le rayon de courbure est constant, que l'on peut noter -1/R². Il n'est pas le premier à s'y intéresser puisque dès 1839, Minding se penche sur la question et trouve des formules trigonométriques qui, aux notations près sont celle de la jeune "géométrie imaginaire" (plane) de Lobachevsky. Mais le lien profond entre la géométrie intrinsèque des surfaces à courbure constante négative et le plan hyperbolique n'est pas fait.

C'est parce qu'il cherchait une représentation linéaire des géodésiques que Beltrami trouva ce lien. Compte tenu des relations auxquelles il aboutit sur les abscisses curvilignes, Beltrami est amené à représenter une partie de la surface qu'il étudie par l'intérieur d'un cercle - qu'il appelle cercle limite, les géodésiques de la surface devenant alors les cordes de ce cercle. Il découvre ainsi les premières règles de ce qui deviendra ultérieurement le modèle dit "de Klein-Beltrami" quand Klein lui donnera sa dimension projective tout en le liant à la métrique absolue de Cayley. Voici ce qu'il écrit dans son interprétation de 1868 :

Sans entrer dans des détails trop techniques - une autre partie du site y sera consacrée - disons que c'est en s'intéressant aux circonférences géodésiques que Beltrami s'aperçoit, dans le cas d'un centre à l'infini, d'une part que ces cercles se comportent comme les horicycles de Lobachevsky et d'autre part que la surface est alors elle ainsi un cas bien particulier : il est amené à introduire ce qu'il nomme lui-même la pseudosphère, surface de révolution dont les méridiens sont une tractrice.

Ce premier modèle est assez complexe, si on le compare à ceux qui seront élaborés par la suite. En effet, la pseudosphère ne correspond pas au plan hyperbolique, ni même à un horicycle, mais seulement à un secteur d'un horicycle. C'est l'enroulement infini de la pseudo-sphère sur elle-même qui correspond à un horicycle entier. Ainsi la pseudosphère n'est-elle en bijection qu'avec une partie bien limitée du plan hyperbolique : la pseudosphère n'est que localement isométrique à un plan hyperbolique.

En 1901 - soit un an après la mort de Beltrami - Hilbert montrera qu'on ne peut généraliser :

"[dans l'espace eucldien] il n'existe aucune surface à courbure constante négative dépourvue de singularité, analytique, et partout régulière. En particulier, on doit répondre par la négative à la question soulevée au début, à savoir qu'il n'existe pas dans l'espace une telle surface, sur laquelle, à la manière de Beltrami, la géométrie du plan de Lobachevsky se trouve entièrement réalisée."

Enfin, signalons que Beltrami s'est aussi intéréssé à la construction effective d'une pseudosphère. Il en a réalisé plusieurs exemplaires méticuleusement, pour pouvoir mieux visualiser les géodésiques.

Nous allons nous, faire cela avec Cabri ...

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