Géométrie vectorielle plane en CabriJava

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L'image d'un vecteur par une application linéaire

Dans tout ce dossier le plan affine de Cabri est vectorialisé par une origine O, c'est-à-dire que tous les vecteurs ont ce point pour origine. On travaille alors dans le plan vectoriel en travaillant avec des applications affines.

Note : on utilisera le terme général d'endomorphisme alors que pour être intéressantes les illustrations proposées dans cette page sont réalisées avec des automorphismes. En pratique les constructions proposées sont encore valides même si l'application n'est pas bijective. On le verra sur les (futures ;-) pages relatives aux projecteurs.

Dans ces pages, décrire une application linéaire f, c'est donner une base de départ (u, v) et une base image (u',v'). Dans la suite - et ci-contre - w est un vecteur quelconque dont w' est l'image par l'application linéaire f. Manipulation : observer sur la figure ci-contre (en conservant u' et v' et en manipulant w) que f admet deux valeurs propres, une positive, une négative (on peut alors faire apparaître la droite vectorielle dirigée par w). Remarque technique : on prendra soin de manipuler les vecteur par leur extrémité c'est-à-dire quand le feedback de l'engagement direct vous indique "ce point" et non pas "ce vecteur". Exercice : mondifier u' ou v' pour que f ait deux valeurs propres positives. Construction d'applications affines dans abraCAdaBRI Autres méthodes

Endomorphismes commutants

On se propose d'illustrer que quand deux endomorphismes diagonalisables commutent, ils ont mêmes vecteurs propres.

Principe de construction des endomorphismes commutants dans abraCAdaBRI

Manipulation proposée : placer w dans une position de vecteur prorpe de f, vérifier visuellement - par exemple en faisant apparaître la droite de direction w - que c'est aussi une direction propre de g. Le faire pour les deux valeurs propres de f.

Endomorphismes à trace nulle

Un exercice "standard" d'algèbre linéaire à propos des endomorphismes de trace nulle est de montrer que dans ce cas, il existe une base dans laquelle la matrice ne contient que des termes nus sur la diagonale. En dimension 2 cela donne un rendu visuel simple qu'il est intéressant d'illustrer avec Cabri :

Principe de construction d'un endomorphisme de trace nulle dans abraCAdaBRI

Valeurs propres d'un endomorphisme

Nous reprenons les deux premières figures, mais désormais avec la construction des directions propres des endomorphismes.

Les droites oranges sont les directions propres de l'application f qui transforme la base (u, v) en (u', v'). De plus w' = f(w). Manipulation : vérifier visuellement, en déplaçant w, que les droites oranges sont bien les directions propres. Observer également que toute application linéaire du plan vectoriel n'est pas diagonalisable. Construction des valeurs propres dans abraCAdaBRI Construction des directions propres.

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