Endomorphisme auto-adjoint et applications

 

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Rappel : un endomorphisme est dit auto-adjoint (ou symétrique) quand il est égal à son adjoint, autrement dit quand f* = f.

Directions propres d'un endomorphisme auto-adjoint

On se propose d'illustrer ici le résultat important suivant : Un endomorphisme symétrique (ou auto-adjoint) est diagonalisable dans une base orthogonale de vecteurs propres. Construction d'un endomorphisme auto-adjoint dans abraCAdaBRI, avec un degré de liberté. AutoAdCJ.mac macro construisant un autoadjoint utilisable dans vos propres figures CabriJava. Manipulation possible : Déplacer l'extrémité de v' (dans une direction orthogonale au vecteur u), on voit alors les droites oranges - directions propres de f - tourner tout en restant orthogonales : L'application est toujours auto-adjointe, donc ses directions propres sont orthogonales.

Illustration d'une preuve de la diagonalisation des endomorphismes symétriques

(Eviter de déplacer le curseur au démarrage de l'applet, pour bénéficier de l'animation par défaut)

Directions propres de f*of

(Eviter de déplacer le curseur au démarrage de l'applet, pour bénéficier de l'animation par défaut)

Application aux transformations affines

En traduisant en langage affine ce qui précède, les directions propres de f*of sont les directions dont les images sont orthogonales. En particulier, dans l'image d'un cercle, ce sont les directions antécédentes des axes de l'ellipse image. C'est ce que nous allons illustrer en deux figures.

1 - Existence et aspect vectoriel de cette propriété

Comme CabriJava ne peut actuellement disposer des coniques, laisser l'animation dessiner les deux ellipses comme trace.
Puis cliquer sur l'applet et prendre le point M1 en main : la trace est toujours présente pour les manipulations.

 2 - Vérification de la propriété annoncée

Là encore, laisser l'animation dessiner l'ellipse. Puis cliquer sur l'applet et prendre le point M1 en main : la trace est toujours présente pour les manipulations.