Plan vectoriel euclidien
Construction d'endomorphismes auto-adjoints

 

   [Construction de l'adjoint] [Directions propres de l'adjoint] [Adjoint et symétrie (vers auto-adjoint]
[Directions propres des auto-adjoints] [Cas particulier de f* o f]

  [Groupe linéaire GL2(R)] [Réduction des endomorphismes]

 

Un endomorphisme f est dit auto-adjoint ou encore symétrique, quand il est égal à son adjoint, soit f = f*.

Plus précisément, si f est donné par une base (u, v) et son image (u', v'), alors il y a un degré de liberté sur v' pour que l'endomorphisme soit symétrique.

Aprés une exploration de cette propriété, nous allons réaliser une macro-construction d'endomorphismes auto-adjoints en respectant ce degré de liberté.

Les figures des description de cette page sont en Cabri 1.1.5. On évitera de les charger en 1.1.8. On peut y suivre la démarche, et prendre cette version AutoAdj8.mac pour Cabri 1.1.8.

 

Remarque préliminaire

On a déjà vu que M* = tM dans une base orthogonale formée de deux vecteurs de même norme. Reprenons les notations de la construction de l'adjoint d'un endomorphisme : on construit j orthogonal à u et de même norme, et en notant j' = f(j), u'' = f*(u), j''=f*(j), on veut que u' = u'' et j' = j''.

Nous avions alors dit que si, dans la base (u, j) u' est de coordonnées (a, b) et j' de coordonnées (c, d), alors u'' est de coordonnées (a, c) et j'' de coordonnées (b, d). En particulier, pour avoir u'' = u' et j'' = j', il faut et il suffit que b = c. L'indéterminée sur d donne ainsi un degré de liberté pour j' image de j par f.

Pour faire la figure en ligne, il est utile de Charger la macro ImVectAL.mac qui construit l'image d'un vecteur par une application linéaire.

 

Construction d'un auto-adjoint

a - Construction de j'=j'' pour u' = u''

Comme indiqué dans la présentation, on construit j orthogonal à u et de même norme.

u' a pour coordonnées (a, b) dans la base (u, j). On reporte b en abscisse (car b = c d'aprés la remarque). j' est un vecteur dont l'extrémité est sur la droite passant par ce point et de direction j. ON a donc un degré de liberté (cofficient d indéterminé) pour le vecteur j'.

L'endomorphisme qui envoie (u, j) sur (u', j') est auto-dajoint.

b - Image v' d'un vecteur v pour avoir v'' = v'.

L'application de la macro ImVectAL.mac sur un vecteur v quelconque donne l'image v' tel que f : (u,v) -> (u', v') soit auto-adjoint.

Le degré de liberté (coefficient d) sur j' induit un degré de liberté sur v' : quand l'extrémité du vecteur j' décrit la droite dirigée par j, l'extrémité du vecteur v' décrit une droite dirigée elle aussi par j.

Lancer la figure ExpAAdj1.fig ci contre pour expérimenter cette propriété ... qu'il reste à montrer par un simple calcul vectoriel.

c - Transformation en macro

La figure ne peut pas se transformer sans aménagement en macro-construction, car on veut un degré de liberté sur v' (et non pas sur j'). On se fixe donc un vecteur j'0 pour construire le vecteur v'0 associé, et on sait que le vecteur final v' a son extrémité sur la droite passant par l'extrémité de v'0 dirigée par j.

Pour le vecteur j'0 on peut prendre tout simplement celui colinéaire au vecteur de base u. Dans la figure ci-contre l'extrémité du vecteur v' est un point sur objet de la droite passant par l'extrémité de v'0, et direction j.

Par construction, l'endomorphisme qui envoie la base (u, v) sur la base (u', v') est auto-adjoint.

Lancer la figure CstAAdj1.fig terminée.

Charger la macro CnstAAdj.mac qui, à partir des vecteurs u, v et u', construit un vecteur v' - avec un degré de liberté - tel que l'endomorphisme f qui envoie (u, v) sur (u', v') soit auto-adjoint (ie symétrique).

Rappel : Ne pas oublier que la macro construit un vecteur v' parmi de nombreux possibles. Si le vecteur construit paraît trop grand, on peut facilement le modifier.

 

Vérification expérimentale

Il suffit d'appliquer à la figure précédente la macro Adjoint.mac qui construit l'adjoint d'un endomorphisme.

Avant l'application de la macro Adjoint

Aprés l'application de la macro (2° vecteur)

On peut aussi se souvenir que cette macro Adjoint donne une désignation à l'image du premier vecteur montré, pour distinguer f*(u) et f*(v) :

 

Pour le fun, on peut Lancer la figure VerAAdj.fig de vérification qui contient, en particulier, les deux précédentes macros.

Cette construction d'endomorphismes symétriques va nous permettre d'illustrer avec facilitéquelques résultats généraux sur ces endomorphismes. Plus tard, il permettra aussi de construire d'autres produits scalaires.

    [Construction de l'adjoint] [Directions propres de l'adjoint] [Adjoint et symétrie (vers auto-adjoint]
[Directions propres des auto-adjoints] [Cas particulier de f* o f]

   [Groupe linéaire GL2(R)] [Réduction des endomorphismes]

Menu général