Plan vectoriel euclidien
Adjoint d'une symétrie vectorielle

  [Construction de l'adjoint]  [Directions propres de l'adjoint]
[Construction d'endomorphismes auto-adjoints] [Directions propres des auto-adjoints] [Cas particulier de f* o f]

  [Groupe linéaire GL2(R)] [Réduction des endomorphismes]

 

Rappel : un endomorphisme est dit auto-adjoint quand il est égal à son adjoint, autrement dit quand f* = f.

Dans cette page, il s'agit - à nouveau - d'illustrer simplement un résultat élémentaire de géométrie vectorielle euclidienne :

Soit s une symétrie vectorielle. Alors s est un endomorphisme auto-adjoint si et seulement si c'est une symétrie orthogonale.

Pour réaliser la figure, on a besoin deCharger la macro Adjoint.mac (1.1.5) ou Adj118.mac (1.1.8)

Rappel sur cette macro : pour distinguer les vecteurs images, l'image du premier vecteur de base est désigné sous le curseur par l'expression "Image du premier vecteur de la base".

 

Construction d'une symétrie vectorielle et de son adjoint

La construction d'une symétrie vectorielle avec Cabri est tout simplement celle d'une symétrie oblique : le milieu des extrémités des vecteurs u et u' appartient à la base de la symétrie (direction propre associée à la valeur propre 1).

AdjDeSym.fig(1.1.5) ou AdjSym8.fig (1.1.8)

 

Illustration du théorème

Elle tient en ces trois copies d'écran

Preuve du résultat (dans tous les manuels ...)

Soit s une symétrie vectorielle de base Ru et de direction Rv. On écrit x = p(x) + q(x) avec p(x) colinéaire à u et q(x) colinéaire à v. Alors s(x) = p(x) - q(x).

Remarque : La preuve vaut en dimension n : Ru est un hyperplan et Rv un supplémentaire, p(x) appartenant à l'yperplan.

a - Une symétrie orthogonale est auto-adjointe

On a (u | v) = 0 et donc pour tout x et tout y, (p(x) | q(y)) = 0.

(s(x) | y) = (p(x) - q(x) | p(y) + q(y)) = ... = (p(x)|p(y)) - (q(x) | q(y)).

Soit, en ajoutant deux termes nuls (q(x) | p(y)) et (p(x)| -q(y)), on a

(s(x) | y) = (p(x)|p(y)) - (q(x) | q(y)) + (q(x) | p(y)) et (p(x)| -q(y))

(s(x) | y) = (p(x) + q(x) | p(y)) + (p(x) + q(x) | - q(y))

(s(x) | y) = (p(x) + q(x) | p(y) - q(y)) = (x | s(y))

La symétrie est donc auto-adjointe.

a - Une symétrie auto-adjointe est orthogonale

Soient x appartenant à Ru et y appartenant à Rv, deux vecteurs non nuls.

On a, par définition de la symétrie, s(x) = x et s(y) = -y.

(x | y) = (s(x) | y) = (x | s*(y)) = (x | s(y)) = (x | - y) = - (x | y).

Donc (x | y) = 0, c'est-à-dire (u | v) = 0, la symétrie est orthogonale.

 

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