[Groupe linéaire GL2(R)] [Réduction des endomorphismes]

Cette page propose quelques illustration d'un résultat de stabilité sur l'adjoint d'un endomorphisme : si un sous espace vectoriel G est f-stable alors son orthogonal est f*-stable.

En dimension 2, avec des endomorphismes ayant deux valeurs propres distinctes (ie on exclu les homothéties), ce théorème prend une forme trés simplifiée :

Si un endomorphisme a (seulement) deux directions propres distinctes, son adjoint a aussi deux directions propres distinctes qui sont les directions orthogonales des premières.

Première illustration

Soit, en déplaçant le vecteur w :

Illustration dans le cas d'une valeur propre positive de f*

Illustration dans le cas d'une valeur propre négative de f*

DirPAdj1.fig (1.1.5) ou DPAdj8a.fig (1.1.8)

Seconde illustration

L'illustration est réalisée avec un endomorphisme qui a des valeurs propres de signes opposés, ce qui permet de mieux visualiser le passage d'une direction (valeur) propre à l'autre.

DirPAdj2.fig (1.1.5) ou DPAdj8b.fig (1.1.8)

Illustration selon les différentes positions du vecteur w :

Cas où w est vecteur propre de f associé à une valeur propre positive. r est alors vecteur propre de f* sur la direction orthogonale associé à l'autre valeur propre.	Cas où w est vecteur propre de f* associé à une valeur propre positive. r est alors vecteur propre de f sur la direction orthogonale associé à l'autre valeur propre.
Cas où w est vecteur propre de f associé à une valeur propre négative. r est alors vecteur propre de f* sur la direction orthogonale associé à l'autre valeur propre.	Cas où w est vecteur propre de f* associé à une valeur propre négative. r est alors vecteur propre de f sur la direction orthogonale associé à l'autre valeur propre.

  [Groupe linéaire GL2(R)] [Réduction des endomorphismes]

Menu général