Diagonalisation simultannée de deux formes quadratiques

Illustrations sur les formes quadratiques
Diagonalisation simultannée

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Dans cette première page sur ce thème, on considère deux formes quadratiques non dégénrées par une de leurs lignes de niveau ( q(x) = 1). Cela correspond à deux coniques de même centre, la seconde étant alors définie par 3 points. Pour la première, on construit son centre par la macro ConikCtr.mac.

Illustration du théorème (phase expérimentale)

Dans cette illustration, on utilise que la direction conjuguée d'un rayon vecteur est celle de la tangente à la ligne de niveau associée à la conique : avoir - comme ci-dessous - les vecteurs ON et OH colinéaires revient à avoir, pour les deux coniques, des tangentes aux points M et K parallèles. C'est ce que nous allons illustrer.

Illustration dans le cas d'une seconde forme non positive
(base de diaagonalisation simultannée : deux vecteurs colinéaires engendrent des tangentes parallèles)

Illustration dans le cas d'une seconde forme positive

Construction de la base de diagonalisation simultannée

Proposée par Pierre Delezoïde

a - Recherche des axes d'une conique à centre (ie non dégénérée)

On peut utiliser le principe même de diagonalisation simultanée en prenant le produit scalaire euclidien, c'est-à-dire en construisant l'intersection de la conique avec un cercle concentrique : les côtés du rectangle obtenu sont les directions propres de la conique.

Du moins en théoriqe (illustration de gauche).

Mais, compte tenu des difficultés de la version actuelle de Cabri (09/98) sur le suivi des intersections avec les coniques - essentiellement lors du changement de type - on a pris ici comme axe la droite passant par O et le milieu de [MN], ce qui donne un résultat plus fiable - à droite - que les parallèles aux côtés.

Reste que cette solution n'est pas idéale non plus, comme on le voir ci-contre.

D'autres approches plus fines, utilisant des arcs de cercles par exemple ne sont pas nécessairement plus fiable.

Cette construction a le mérite d'être élémentaire et - compte tenu de l'algorithme actuel d'intersection - de rester fiable sur les ellipses par exemple.

Rappelons que la méthode utilisant le point de Frégier d'un point donne bien les deux axes d'une conique dans tous les cas.

b - Application au cas général

Il suffit d'utiliser la même démarche. L'ellipse faisant office de cercle euclidien. Etant données l'ellipse (q1(x) = 1 en bleu ci-dessous) et la seconde conique à centre (q2(x) = 1 en rose, si q2 est une hyperbole, on a construit aussi sa conjuguée en marron : q2(x) = -1) , on commence par construire une ellipse homothétique de q1 qui coupe q2 (ci dessous on utilise le point R).

Le parallélogramme obtenu par leurs intersections correspond au rectangle de ci-dessus : ces côtés sont les directions de la base de diagonalisation simultanée.

DiagSim2.fig

Cas d'une seconde forme quadratique définie positive

c - Les conclusions du théorème peuvent être réalisées sans que les hypothèses le soient

Ci dessous, q1 est non définie positive. En vert, on a construit l'hyperbole conjuguée à la bleue (q1(x) = -1). On retrouve l'homothétique de q1 en gris et il existe - dans cette configuration - une base de conjugaison simultanée.

Réalisation d'une réduction simultanée en dehors des hypothèses générales du théorème.
DiagSim3.fig

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