Endomorphismes commutant

Groupe linéaire
Construction d'un endomorphisme commutant

[Macros de base] [Trace] [Déterminant] [Illustration : endomorphisme de trace nulle]

[Réduction des endomorphismes] [Adjoint d'un endomorphisme]

Soit f un endomorphisme. On cherche à construire g - avec un degré de liberté - tel que g o f = f o g. On sait qu'il suffit que cela soit vrai sur une base.

L'intérêt est principalement dans l'illustration d'une propriété de stabilité des sous espaces propres quand deux endomorphismes commutent, que nous pouvons illustrer avant même de savoir construire ces directions propres.

Pour faire la figure, on aura besoin des macros de la page précédente

Charger la macro ImAL1.mac qui construit l'image d'un vecteur pour les deux versions de Cabri.

Principe et réalisation

GLComm1.fig (1.1.5)

Soit f une application linéaire, définie par son image (u', v') = (f(u), f(v)) d'une base (u, v). Pour qu'un endomorphisme g commute avec f il faut que f(g(u)) = g(f(u)).

Soit donc un vecteur de base g(u). Son application par f donne l'image de f(u) par g. Ainsi, pour peu que u ne soit pas vecteur propre de f, l'application g est alors entièrement déterminé par la base (u, f(u)) et son image (g(u), f(g(u)).

Ayant g déterminée par son image dans la base (u, f(u)), on peut ensuite utiliser l'une des macros de la page précédente pour construire l'image de v.

On a ainsi construit une application g - pour laquelle g(u) est un vecteur de base - qui commute avec f.

La macro Commute.mac (1.1.5) correspondant à la figure ci-contre.

Objets initiaux : u, v, f(u), f(v) le vecteur de base g(u). La macro construit l'unique vecteur g(v) tel que f et g commutent.

Illustration de la stabilité des directions propres

Considérons, sur la figure précédente, un nouveau vecteur w, et ses images f(w) et g(w).

La figure GLComm2.fig (1.1.5) ou GLComm3.fig (1.1.8) ci-contre.

Alors si f(w) est colinéaire à w, on illustre ici qu'il en est de même de g(w). Ce qui peut se comprendre de plusieurs façons en particulier que les sous espaces propres d'un endomorphisme sont stables par tout endormphisme commutant avec lui.

Cas d'une valeur propre positive pour f

Cas d'une valeur propre négative pour f

[Macros de base] [Trace] [Déterminant] [Illustration : endomorphisme de trace nulle]

[Réduction des endomorphismes] [Adjoint d'un endomorphisme]

Soit f un endomorphisme. On cherche à construire g - avec un degré de liberté - tel que g o f = f o g. On sait qu'il suffit que cela soit vrai sur une base.

L'intérêt est principalement dans l'illustration d'une propriété de stabilité des sous espaces propres quand deux endomorphismes commutent, que nous pouvons illustrer avant même de savoir construire ces directions propres.

Pour faire la figure, on aura besoin des macros de la page précédente

Charger la macro ImAL1.mac qui construit l'image d'un vecteur pour les deux versions de Cabri.

Principe et réalisation

GLComm1.fig (1.1.5)

Soit f une application linéaire, définie par son image (u', v') = (f(u), f(v)) d'une base (u, v). Pour qu'un endomorphisme g commute avec f il faut que f(g(u)) = g(f(u)).

Soit donc un vecteur de base g(u). Son application par f donne l'image de f(u) par g. Ainsi, pour peu que u ne soit pas vecteur propre de f, l'application g est alors entièrement déterminé par la base (u, f(u)) et son image (g(u), f(g(u)).

Ayant g déterminée par son image dans la base (u, f(u)), on peut ensuite utiliser l'une des macros de la page précédente pour construire l'image de v.

On a ainsi construit une application g - pour laquelle g(u) est un vecteur de base - qui commute avec f.

La macro Commute.mac (1.1.5) correspondant à la figure ci-contre.

Objets initiaux : u, v, f(u), f(v) le vecteur de base g(u). La macro construit l'unique vecteur g(v) tel que f et g commutent.

Illustration de la stabilité des directions propres

Considérons, sur la figure précédente, un nouveau vecteur w, et ses images f(w) et g(w).

La figure GLComm2.fig (1.1.5) ou GLComm3.fig (1.1.8) ci-contre.

Alors si f(w) est colinéaire à w, on illustre ici qu'il en est de même de g(w). Ce qui peut se comprendre de plusieurs façons en particulier que les sous espaces propres d'un endomorphisme sont stables par tout endormphisme commutant avec lui.

[Réduction des endomorphismes] [Adjoint d'un endomorphisme]

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