Ces pages veulent surtout présenter quelques premières constructions elliptiques, en particulier autour du cercle du médiateur et des polygones réguliers. La présentation effective des droites et du modèle, ainsi que les propriétés sur les symétries sont vues aux pages d'introduction en lien sous le titre. Ces pages sont supposées avoir été vues avant celles de ce dossier.

Polaire d'un point

On a vu dans les pages d'introduction que les peprendiculaires à une même droites sont concourantes en un point appelé pôle de la droite. Nous examinons ici la réciproque : pour tout point, il existe une droite - unique - dont ce point est le pôle : on dit que c'est la polaire du point.

La géométrie elliptique standard - ie sur le corps des réels - est métrique. La distance, liée à l'angle entre les grands cercles de la sphère, est traditionnellement exprimée par un angle, compris en 0 et 90 degrés. La polaire d'un point a alors, en terme de distance, une propriété remarquable.

Polaire et tracé des segments

En géométrie euclidienne la distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB]. Ce n'est plus vrai en géométrie elliptique si la distance reste "le plus court chemin" (ie la mesure d'une géodésique). En effet, comme il n'y a pas de relation d'ordre entre 3 points d'une droite, on perd cette équivalence entre distance et longueur. En géométrie elliptique, la distance entre deux points A et B est la longueur d'un des deux segments, [AB] = le segment intérieur - qui ne rencontre pas l'horizon - ou le segment extérieur. La polaire des points A et B permet, pour le tracé, de savoir lequel de ces deux segments réalise la distance.