La géométrie elliptique

C'est une géométrie dans laquelle deux droites ont au moins un points commun. En ce sens c'est une géométrie projective. L'aspect elliptique caractéristique vient de ce qu'il s'agit d'une géométrie métrique, c'est-à-dire muni d'une notion d'orthogonalité. Plusieurs définitions sont possibles :

- Traditionnellement la géométrie elliptique est celle de "l'hypothèse de l'angle obtus", par exemple dans le cas du quadrilatère de Saccheri. Cette possibilité a toujours été balayée par les commentateurs des livres d'Euclide cherchant à prouver le V° postulat. En effet, elle aboutit rapidement à des longueurs finies pour les droites ce qui est contraire - entre autre - à l'interprétation traditionnelle de la demande 2 d'Euclide (Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie). Un autre point de vue équivalent sur les angles : c'est une géométrie dans laquelle la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.

- Dans l'approche que nous illustrons ici, la géométrie elliptique est caractérisée par l'existence d'un triangle tripolaire, ce qui revient à l'existence d'un triangle dont les côtés sont deux à deux orthogonaux. On montre alors - et nous l'illustrerons à la page sur les symétrie - que la composée des trois symétries associée est l'identité.

 

Les modèles classiques

Un triangle formé de trois angles droits est quelque chose de connu depuis fort longtemps sur la sphère avec les grand cercles. Les droites seraient alors des grands cercles : deux grands cercles distincts sont toujours sécants ... mais en deux points. Et plus précisément en deux points diamétralement opposés. Aussi pour respecter les axiomes d'incidence communs à toutes les géométries (par 2 points il passe une et une seule droite), il faut identifier les points de la sphère diamétralement opposés car par deux tels points il passe une infinité de grands cercles.

La géométrie elliptique est alors celle - dans le contexte euclidien - des traces des grands cercles de la sphère sur une demi-sphère, équateur compris, mais les points de l'équateur diamétralement opposés étant identifiés. On comprend pourquoi la géométrie sphérique est parfois appelée "bi-elliptique" : la sphère contient exactement deux plans elliptiques si on considère qu'identifier les points diamétralement opposés c'est retenir seulement un demi-équateur par exemple.

Klein a proposé de faire une projection stéréoscopique de ce modèle pour en avoir un modèle plan. Le modèle se projète alors sur un disque, frontière comprise - le cercle étant alors appelé l'horizon - avec, comme sur la sphère, les points de la frontière diamétralement opposés identifiés.

Les droites du modèle de Klein

Il est alors facile de voir que les droites de ce modèle sont les diamètres du cercle et les arcs de cercle interceptant le cercle horizon en des points diamétralement opposés (puisque les points diamétralement opposés du cercle sont confondus dans le modèle elliptique).

Comme on peut le constater en manipulant, dans la figure de gauche, les droites (AB) et (CD), deux droite ont bien toujours un point commun. Dans la figure de droite, on a représenté le cas particulier où le point d'intersection est un point de l'horizon (dans cette figure A, B et C sont des points de base, et D n'est qu'un point de la droite).

Construction des droites (CabriJava) et autres détails ...

Convention de figures (et de dessins) : désormais, on choisit de ne plus représenter les points du cercle horizon, sauf quand il seront liés - par hypothèse - à ce cas particulier.

Triangles et segments ...