Orthogonalité dans le modèle plan elliptique standard

Le modèle de Klein, provenant d'une projection stéréoscopique de la sphère (donc une inversion) est un modèle conforme. Il en résulte que l'orthogonalité - dans sa lecture euclidienne - est construite sur la base de cercles orthogonaux.

Ci-contre étant donnés une droite (AB) et un point M, on a construit la perpendiculaire à (AB) passant par M.

La perpendiculaire ????

Pas tout à fait ...

Quand on prend la perpendiculaire à (AB) passant par deux points de (AB), on s'aperçoit que les deux perpendiculaires sont sécantes en un point fixe, entièrement déterminé par le droite (AB), appelé pôle de (AB).

Ci-contre, déplacer M ou N.

La théorie - et par exemple l'axiomatique de Bachmann - montre

d'une part que toutes les droites passant par le pôle de (AB) sont orthogonales à (AB),
d'autre part que par tout point qui n'est pas pôle de (AB), il passe une et une seule perpendiculaire à (AB).

C'est un triangle PQR tel que chaque point est pôle de la droite passant par les deux autres. On montre alors que les trois droites (PQ), (QR) et (RP) sont deux à deux orthogonales.

Cette propriété peut aussi être prise comme axiome de la géométrie elliptique : la géométrie elliptique est cette géométrie - ayant déjà une axiomatique "absolue" - dans laquelle il existe un triangle polaire.

L'existence possible de pôle d'une droite sera - dans la présentation de Bachmann - la source de la richesse elliptique, mais aussi à l'origine de quelques précisions sur la notion d'incidence, dans le cadre général de la théorie, avant que les trois types généraux elliptique, euclidien et hyperboliques soient dissociés.

Voyons déjà les conséquences sur la notion de symétrie