La notion de faisceaux

Trois droites sont dites en faisceau quand la composée des trois symétries associées est une symétrie orthogonale. Dans l'axiomatique de Bachmann, un axiome demande que quand trois droites ont un point commun, elles sont en faisceau (le faisceau est alors à centre).

Or les seuls faisceaux possibles en géométrie elliptique est ce cas car deux droites sont toujours sécantes : les faisceaux à axe (perpendiculaire commune) sont aussi à centre : deux droites secantes en O ont pour perpendiculaire commune la polaire de O. Et il n'y a pas de faisceau sans support ... puisque deux droites ont un point commun.

Les faisceaux "usuels"

Ce sont les faisceaux de médiatrices, hauteurs, bissectrices, médianes ... Voici deux illustrations qui diffèrent sensiblement des figures euclidennes ou hyperboliques; dans la seconde, la figure a été construite pour observer plusieurs étapes.