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Certaines figures du modèle de Klein Beltrami (KB) vont être plus faciles à réaliser que dans le modèle du disque de Poincaré - en terme d'objets Cabri à construire - puisque les droites sont des segments de droites euclidiennes. Il en résulte en particulier qu'il n'y a aura pas de gestion particulière à effectuer pour le fonctionnement sur les points idéaux (points du cercle horizon).
D'autres figures seront plus longues puisque les cercles hyperboliques sont des coniques euclidiennes par exemple. Mais d'une manière générale les figures sont moins lourdes que dans le modèle de Poincaré. De même, dans un soucis d'allègement, dans ce dossier, contrairement à celui traitant du modèle de Poincaré, on a renoncé à gérer la position des points à l'intérieur de l'horizon, cela alourdissait inutilement certaines figures, par application de macros successives.
Ce dossier se veut d'une lecture plus rapide que celui sur le modèle de Poincaré (supposé avoir été parcouru - par exemple dans sa version CabriJava suffisamment condensée : cela évitera quelques redites). Pour l'efficacité des figures, on choisira parfois l'argumentation métrique pure - usage direct de la distance - alors que pour d'autres, on choisira l'approche géométrique, les constructions de ce modèle étant alors entièrement basée sur la division harmonique et l'homologie harmonique. Toutes les figures - y compris aux cas limites - sont réalisables entièrement géométriquement, mais pour un gain d'objet - en particulier dans les macros - il est parfois judicieux d'utiliser d'autres arguments.
Que ceux des lecteurs pour lesquels le terme "homologie" fait froncer les sourcils se rassurent : leur présence dans ce dossier est uniquement constructive, il n'y a aucune difficulté théorique soulevée ici, on n'utilise que la notion de pôle d'une droite et de polaire d'un point par rapport à un cercle, et tout ceci est rappelé en détail dans une page de présentation (KB.1.b) des "macros projectives utilisées". Il est d'ailleurs assez fascinant de réaliser, pour l'occasion, une macro division harmonique dans laquelle 3 des 4 points de la division peuvent aller à l'infini.
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Historiquement, Cayley a d'abord montré que l'intérieur d'une conique - projective réelle -non dégénérée, munie de la distance
est un modèle de géométrie hyperbolique dans lequel la droite (AB) est l'intersection de la droite euclidienne avec l'intérieur stricte de la conique. Cette page utilise la distance de Cayley |
Le rapport dans le logarithme est le birapport des 4 points, noté [A, B, U, V]. Comme les transformations qui conservent le birapport - donc les isométries du modèle - sont de nature projective, il est clair que la notion d'homologie sera - selon le point de vue - sous-jacente ou omniprésente. D'autre part comme on travaille sur un cercle, l'homologie harmonique sera suffisante, c'est-à-dire la transformation associée à la division harmonique.
A l'occasion de travaux (rapidement rappelés ici), Beltrami, en 1868, retrouve la métrique de Cayley dans le cas où la conique est un cercle, et étudie le premier modèle - car c'en est un - de géométrie hyperbolique plane. Ce modèle a l'inconvénient d'être non conforme, ce qui fait que les constructions - pour l'orthogonalité et les angles en particulier - ne sont pas aussi "euclidiennes" que dans les modèles conformes ultérieurs de Poincaré.
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Le plan hyperbolique est l'intérieur strict d'un disque dans lequel les droites sont les sécantes du disque (ci-contre P et Q sont des points idéaux, ils n'appartiennent pas à la droite d). Dans un plan hyperbolique il existe au moins deux droites non connectables (ie sans point commun et sans perpendiculaires communes). De plus, pour tout point A n'appartenant pas à une droite d, il existe au moins une droite passant par A non connectable à d. En pratique il en existe toujours deux. La distance de A et B est d(A,B) = |ln[(AU/AV)/(BU/BV)]|, comme ci-dessus. Ci-contre, parmi les droites du faisceau issu de M, on distingue Les droites sécantes à d (exemple a et b). |
L'orthogonalité et la symétrie orthogonale sont directement liées, respectivement, au pôle d'une droite, et à l'homologie harmonique qui, quand son centre est le pôle de son axe par rapport à un cercle, laisse ce cercle - et son intérieur - globalement invariant, tout comme l'inversion par rapport à des cercles orthogonaux que sont les symétries orthogonales dans le modèle de Poincaré.
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On notera que géométriquement, deux points fondamentaux sont communs aux deux modèles : le centre du cercle orthogonal à l'horizon passant par la droite hyperbolique de points idéaux U et V dans le modèle de Poincaré est le pôle de cette même droite idéale (UV) dans le modèle de Beltrami. Ainsi d'éventuelles propriétés sur les pôles de segments dans les figures du modèle de Klein-Beltrami seront donc aussitôt transférables en propriétés sur les centres des segments hyperboliques correspondants dans le modèle de Poincaré. Nous y reviendrons, sur les polygones réguliers par exemple, lors des pages sur le cercle. Cette simple remarque aide à mieux percevoir le passage d'un modèle à l'autre, et permet même de réaliser, par conjugaison, des constructions dans un modèle en utilisant leur homologue dans l'autre modèle. Le détail du passage effectif de [AB] dans le modèle de Beltrami à [A'B'] dans celui de Poincaré est proposé dans Passage d'un modèle à l'autre de l'introduction générale aux constructions hyperboliques. |
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Aprés deux macros cosmétiques comme 
DroiteKB.mac ou DDrteKB.mac
(demi-droite), on peut aborder les macros de calcul et une
première construction :
La construction du milieu a été faite par intersection de ligne de niveau IU/IV = "constante connue" avec la droite (AB). Cette construction a été faite avec la calculatrice Cabri pour économiser les objets. Elle est toutefois entièrement constructible à la règle et au compas car l'égalité abs(ln(p)) = abs(ln(q)) entraine p = q ou p = 1/q ce qui correspond à deux point symétriques par rapport à une origine sur une droite. On peut donc, comme dans la figure ci-dessus, chercher le point qui correspond à l'égalité sur la demi droite [AB) : ce sera le milieu. À partir de d(A, I) = d(A, B)/2, on voit donc apparaître une racine carrée, et la relation pour le point I comme écrit dans la figure.
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Remarque : le webmestre d'abraCAdaBRI n'est pas particulièrement doué pour les icones, si une personne veut proposer un jeu d'icones pour cette barre, elle sera la bienvenue ;-)
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