La synthèse des GNE au XIX°
Klein

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Félix Klein découvre un lien entre la géométrie projective et les géométries euclidienne et non-euclidiennes, suite aux travaux de Arthur Cayley.

Dans le plan projectif, considérons une conique non dégénérée, appelée absolu. On peut alors définir les distances par :

d(A,B) = k.| ln[(AU/AV)/(BU/BV)] |

Si la conique est réelle (x2+ y2- z2 = 0), l'ensemble des points situés à l'intérieur a les propriétés du plan de Lobatchevsky.

Si la conique est imaginaire (x2+ y2+ z2 = 0), on retrouve la géométrie de Riemann.

Dans le cas limite d'une conique dégérée (x2+ y2 = 0), on retrouve la géométrie d'Euclide.

 

Beltrami avait observé (1868) que pour les surfaces à courbure constante - et pour elles seulement - on peut choisir un système de coordonnées de façon à ce que les lignes géodésiques soient représentées par des équations du premier degré. Cette remarque l'a alors amené à construire une bijection entre de telles surfaces à courbure constante négative et l'intérieur d'un cercle dans un plan euclidien, ce qui lui permet d'obtenir une représentation dans laquelles les cordes d'un cercle euclidien correspondent aux géodésiques d'une telle surface. Beltrami note d'ailleurs - en référence aux travaux de Cayley - que dans cette représentation, la métrique obtenue est celle de Cayley dans le cas où la conique absolue est ce cercle. On obtient ainsi ...

 

Le modèle de Klein-Beltrami du plan hyperbolique

 

Un plan hyperbolique est un plan dans le quel il existe au moins deux droites non connectables (ie sans point commun et sans perpendiculaires communes) et tel que pour tout point A n'appartenant pas à une droite d, il existe au moins une droite passant par A non connectable à d.

Ci-contre, la distance de A et B est d(A,B) = |ln[(AU/AV)/(BU/BV)]|

Parmi les droites du faisceau issu de M, on distingue

Les droites sécantes à d (exemple a et b).
Les droites non connectables à d (ex. e et f), celles que Lobachevsky appelle parallèles
Les droites non sécantes à d : elles sont connectables sans point commun, et donc ont une perpendiculaire commune avec d - voir la construction ci-dessous (exemple g et h).

Orthogonalité dans le modèle de Klein-Beltrami

Soit P l'intersection des tangentes au cercle en les points idéaux U et V de la droite hyperbolique (AB). P s'appelle de le pôle de (AB).
La perpendiculaire à (AB) en M est la trace dans le modèle de la droite euclidienne (MP).

L'orthogonalité est bien une relation symétrique

Perpendiculaire commune

Si deux droites sont non sécantes - et sans point idéal commun, elles ont alors une perpendiculaire commune : la trace dans le modèle de la droite euclidienne (PQ) ou P et Q sont les pôles des deux droites.

Remarque : il est clair que si S est en U (par exemple), la droite (PQ) est confondue avec (UP) : les droites hyperboliques non ni point commun ni perpendiculaire commune.

Symétrique d'un point par rapport à une droite

• On commence par construire la perpendiculaire à d = (AB) passant par M. Soit I l'intersection des deux droites hyperboliques.

• Le symétrique M' est alors le conjugué harmonique de M par rapport à P et I.

En pratique, il suffit de prendre une droite passant par P coupant le cercle en deux points R et S. La droite (PR) coupe la droite - euclidienne - (AB) en T. La droite (ST) coupe (MP) en M' cherché. Pour une macro, on prendra par exemple la perpendiculaire euclidienne à (AB) issu de P.

Remarque : on peut vérifier la construction en construisant une macro qui renvoie la distance hyperbolique de ce modèle.

Depuis la rédaction de cette page, un dossier assez consèquent sur le modèle de Klein - Beltrami a été mis en ligne ici.

 

 

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